Какое будет ускорение тел, связанных идеальной нитью и проходящих через невесомый блок, закрепленный у вершины призмы

Олег

28

Для решения этой задачи нам понадобится применить второй закон Ньютона, который гласит, что сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение.

Давайте рассмотрим первое тело массой \(m_1\). На это тело действуют следующие силы:

1. Сила тяжести \(F_{г_1}\), направленная вертикально вниз. Её можно вычислить, умножив массу тела на ускорение свободного падения \(g\). Формула для этого:
\[F_{г_1} = m_1 \cdot g\]

2. Натяжение нити \(T\), направленное вдоль нити и перпендикулярно силе тяжести. Это натяжение обеспечивает ускорение тела вверх по наклонной плоскости. Так как нить идеальная, то в ней не возникает сил трения.

Так как нить идеальная, то натяжение нити в любой точке нити одинаково. Поэтому сила натяжения в верхней точке блока и сила натяжения в точке подвеса блока равны.

Рассмотрим теперь второе тело массой \(m_2\). На это тело действуют следующие силы:

1. Сила тяжести \(F_{г_2}\), направленная вертикально вниз. Её можно вычислить, умножив массу тела на ускорение свободного падения \(g\). Формула для этого:
\[F_{г_2} = m_2 \cdot g\]

2. Натяжение нити \(T\), направленное вдоль нити и перпендикулярно силе тяжести. Это натяжение обеспечивает ускорение тела вверх по наклонной плоскости. Так как нить идеальная, то в ней не возникает сил трения.

Теперь посмотрим на блок, закрепленный у вершины призмы. На этот блок действуют следующие силы:

1. Натяжение нити с каждой стороны блока. Это натяжение равномерно распределено по обоим сторонам блока.

Таким образом, мы можем записать уравнения для движения каждого тела:

Для первого тела:

\[\Sigma F_{сумм} = m_1 \cdot a_1\]
\[T - F_{г_1} = m_1 \cdot a_1\]

Для второго тела:

\[\Sigma F_{сумм} = m_2 \cdot a_2\]
\[T - F_{г_2} = m_2 \cdot a_2\]

Теперь нам нужно найти натяжение \(T\) в нити и ускорение для каждого тела.

Рассмотрим первое тело:

\[T - F_{г_1} = m_1 \cdot a_1\]
\[T - m_1 \cdot g = m_1 \cdot a_1\]

Рассмотрим второе тело:

\[T - F_{г_2} = m_2 \cdot a_2\]
\[T - m_2 \cdot g = m_2 \cdot a_2\]

Так как нить идеальная, то натяжение нити в любой точке нити одинаково. Поэтому натяжение \(T\) в обеих уравнениях равно.

Теперь нам понадобятся уравнения, связывающие ускорение и углы призмы.

Рассмотрим первое тело. По определению, ускорение \(a_1\) связано со смещением \(s_1\) и углом наклона \(α_1\) по формуле:
\[a_1 = g \cdot \sin(α_1)\]

Рассмотрим второе тело. По определению, ускорение \(a_2\) связано со смещением \(s_2\) и углом наклона \(α_2\) по формуле:
\[a_2 = g \cdot \sin(α_2)\]

Подставим эти уравнения в уравнения для первого и второго тела:

\[T - m_1 \cdot g = m_1 \cdot g \cdot \sin(α_1)\]
\[T - m_2 \cdot g = m_2 \cdot g \cdot \sin(α_2)\]

Теперь мы можем решить эту систему двух уравнений с двумя неизвестными (натяжение \(T\) и ускорение \(a_1\)):

\(T - m_1 \cdot g = m_1 \cdot g \cdot \sin(α_1)\) ---(1)

\(T - m_2 \cdot g = m_2 \cdot g \cdot \sin(α_2)\) ---(2)

Решим уравнение (1) относительно \(T\):

\[T = m_1 \cdot g \cdot \sin(α_1) + m_1 \cdot g\]

Подставим это значение \(T\) в уравнение (2):

\[m_1 \cdot g \cdot \sin(α_1) + m_1 \cdot g - m_2 \cdot g = m_2 \cdot g \cdot \sin(α_2)\]

Теперь решим это уравнение относительно ускорения \(a_1\):

\[a_1 = g \cdot \sin(α_1)\]

Подставим это значение \(a_1\) в уравнение (1):

\[T = m_1 \cdot a_1 + m_1 \cdot g\]

Теперь мы можем подставить значения масс, углов и ускорения в эти уравнения и вычислить ответ.