Какое число сотрудников организация наймет, если у нее известна функция производства совершенного конкурента Q=2L^0,5

Екатерина_719

41

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать условие равновесия между заработной платой и производительностью.

Известно, что заработная плата составляет 3 денежных единицы (д.е.) и цена продукции – 30 д.е. Когда рабочая сила используется в производстве, она создает определенную продукцию. В данной задаче функция производства описана как Q = 2L^0.5, где L – количество рабочих.

Мы знаем, что заработная плата равна произведению количества рабочих на заработную плату одного работника. Выразим это алгебраически:
Заработная плата = Количество рабочих × Заработная плата одного работника
3 = L × Заработная плата одного работника

Также мы знаем, что доход организации составляет произведение цены продукции на количество продукции. Используя функцию производства, можем записать это следующим образом:
Доход = Цена продукции × Количество продукции
Доход = 30 × Q
Доход = 30 × 2L^0.5

Теперь у нас есть два уравнения:
3 = L × Заработная плата одного работника
Доход = 30 × 2L^0.5

Мы можем решить первое уравнение относительно L:
L = 3 / Заработная плата одного работника

Теперь, подставив это значение во второе уравнение, мы получим:
Доход = 30 × 2(3 / Заработная плата одного работника)^0.5

Равновесный доход будет достигнут, когда доход будет максимален. Чтобы найти максимальное значение дохода, мы должны взять производную этой функции и приравнять ее к нулю. Но перед этим нам нужно избавиться от переменной Заработная плата одного работника, так как она неизвестна. Поделим обе части уравнения на Заработную плату одного работника:
Доход / Заработная плата одного работника = 30 × 2(3 / Заработная плата одного работника)^0.5 / Заработная плата одного работника

Теперь продифференцируем это выражение по Заработной плате одного работника и приравняем его к нулю:
0 = d(Доход / Заработная плата одного работника) / d(Заработная плата одного работника)

Вычисляя производную, мы получим:
0 = 30 × (2(3 / Заработная плата одного работника)^0.5)" / Заработная плата одного работника"

Упрощая это выражение, получим:
0 = 30 × (3 / 2) × (2(3 / Заработная плата одного работника)^0.5)" / Заработная плата одного работника"

Теперь избавимся от констант и упростим это выражение еще больше:
0 = (3 / Заработная плата одного работника) × (2(3 / Заработная плата одного работника)^0.5)" / Заработная плата одного работника"

После упрощения, уберем нулевые множители:
0 = (2(3 / Заработная плата одного работника)^0.5)" / Заработная плата одного работника"

Теперь остается рассмотреть только числитель выражения и продифференцировать его:
(2(3 / Заработная плата одного работника)^0.5)" = (2 / 2) × (3 / Заработная плата одного работника)^(-0.5) × (3 / Заработная плата одного работника)"

Упростим это выражение еще раз:
(2 / 2) × (3 / Заработная плата одного работника)^(-0.5) × (3 / Заработная плата одного работника)" = (3 / Заработная плата одного работника)^(-0.5) × (3 / Заработная плата одного работника)"

Нам нужно приравнять эту производную к нулю, чтобы найти максимальное значение дохода. После подстановки выражения в первое уравнение (Доход = 30 × 2L^0.5), получится следующее:
(3 / Заработная плата одного работника)^(-0.5) × (3 / Заработная плата одного работника)" = 0

Таким образом, мы получаем следующее равенство:
(3 / Заработная плата одного работника)^(-0.5) × (3 / Заработная плата одного работника) = 0

Дальше мы можем рассмотреть два варианта: либо числитель равен нулю, либо знаменатель равен нулю.

Если числитель равен нулю:
3 / Заработная плата одного работника = 0
3 = 0

Такое равенство невозможно. Значит, числитель не может быть равен нулю.

Если знаменатель равен нулю:
Заработная плата одного работника = 0

Такое равенство также невозможно, так как заработная плата не может быть равной нулю.

Таким образом, мы не можем найти максимальное значение дохода, так как производная не принимает нулевое значение.

Вывод: Не существует точного значения количества сотрудников, которых организация наймет для достижения равновесия. Однако мы можем примерно оценить количество сотрудников, используя значение функции производства. Подставив Q = 30 / 3 = 10 в функцию производства, мы можем получить количество рабочих:
Q = 2L^0.5
10 = 2L^0.5
5 = L^0.5
L = 5^2
L = 25

Таким образом, организация может нанять приблизительно 25 сотрудников, чтобы достичь равновесия.