Какое должно быть изменение затрат для обеспечения производства коллективного блага при достижении оптимального

Tayson

29

Чтобы найти изменение затрат для обеспечения производства коллективного блага при достижении оптимального количества группового блага, нужно сначала понять, как будет изменяться выгода для группы с изменением объема производства коллективного блага.

Функция выгоды группы задана как \(vg = 12,5t^2 + 100\), где t - объем производства коллективного блага. Чтобы найти оптимальное количество группового блага, необходимо найти значение t, при котором \(vg\) достигает максимума.

Для этого нам понадобится производная \(vg\) по t. Найдем производную функции \(vg\):

\[v_{g}" = \frac{d}{dt}(12,5t^2 + 100)\]

Продифференцируем каждый член по отдельности:

\[v_{g}" = \frac{d}{dt}(12,5t^2) + \frac{d}{dt}(100)\]

Используем правило дифференцирования для мономов \(ax^n\), где a и n - константы:

\[v_{g}" = 25t\]

Теперь найдем значение t, при котором производная равна нулю для определения экстремума функции \(vg\):

\[25t = 0\]

Отсюда получаем, что \(t = 0\). Таким образом, можно сделать вывод, что максимальная выгода для группы достигается, когда объем производства коллективного блага равен нулю.

Теперь рассмотрим долю выгоды для отдельного индивида, которая составляет 0,2. Делая предположение, что это значение дано при оптимальном количестве группового блага, мы можем установить следующее:

\[vg = 12,5t^2 + 100\]
\[0,2 = \frac{12,5t^2 + 100}{t}\]

Домножим обе стороны на t, чтобы избавиться от деления:

\[0,2t = 12,5t^2 + 100\]

Получаем квадратное уравнение:

\[12,5t^2 - 0,2t + 100 = 0\]

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где в нашем случае a = 12.5, b = -0.2 и c = 100.

\[t = \frac{-(-0.2) \pm \sqrt{(-0.2)^2 - 4(12.5)(100)}}{2(12.5)}\]

\[t = \frac{0.2 \pm \sqrt{0.04 - 500}}{25}\]

\[t = \frac{0.2 \pm \sqrt{-499.96}}{25}\]

Поскольку подкоренное выражение отрицательно, действительных корней у уравнения нет.

Таким образом, изменение затрат для обеспечения производства коллективного блага при достижении оптимального количества группового блага и при доле выгоды для отдельного индивида, равной 0,2, составляет 0.