Какое фокусное расстояние объектива проэкционного аппарата, если изображение на экране размером 2*2 м получается

Евгеньевич_8583

64

Чтобы найти фокусное расстояние объектива проекционного аппарата, нам потребуется использовать формулу линзы.

Формула для нахождения фокусного расстояния линзы выглядит следующим образом:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2}\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(s_1\) - расстояние от предмета до линзы, \(s_2\) - расстояние от линзы до изображения.

В нашем случае предметом является диапозитив, изображение формируется на экране, и расстояние от аппарата до экрана равно 4 м.

Сначала нам нужно найти расстояние от предмета до линзы (\(s_1\)) и расстояние от линзы до изображения (\(s_2\)).

Расстояние от предмета до линзы (\(s_1\)) равно размеру предмета (\(h_1\)) плюс расстояние от предмета до фокусной точки (\(f_1\)). В нашем случае, размер диапозитива составляет 8 см.

\[s_1 = h_1 + f_1\]
\[s_1 = 8 \, см + f_1\]

Расстояние от линзы до изображения (\(s_2\)) равно расстоянию от линзы до экрана (\(d\)) минус фокусное расстояние линзы (\(f\)). В нашем случае, расстояние от аппарата до экрана составляет 4 м.

\[s_2 = d - f_2\]
\[s_2 = 4 \, м - f_2\]

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу линзы и решить уравнение относительно фокусного расстояния (\(f\)):

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{8 \, см + f_1} + \frac{1}{4 \, м - f_2}\]

Так как все расстояния и размеры измерены в разных единицах, нам необходимо привести их к одной единице. Для удобства переведем все значения в метры.

\[s_1 = 8 \, см = 0.08 \, м\]
\[d = 4 \, м\]

Теперь подставим данные значения в уравнение:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{0.08 \, м + f_1} + \frac{1}{4 \, м - f_2}\]

Чтобы решить это уравнение, нужно провести несколько преобразований. Умножим оба края уравнения на \(f(0.08 \, м + f_1)(4 \, м - f_2)\), чтобы избавиться от дробей:

\[f(0.08 \, м + f_1)(4 \, м - f_2) = (0.08 \, м + f_1)(4 \, м - f_2) + (f)(0.08 \, м + f_1)\]

\(f\) - фокусное расстояние, \(f_1\) и \(f_2\) - неизвестные.

Теперь раскроем скобки:

\[4f(0.08 \, м - f_2) + f(0.08 \, м + f_1)(4 \, м - f_2) = 0.08 \, м(4 \, м - f_2) + f_1(4 \, м - f_2) + f(0.08 \, м + f_1)\]

а затем упростим выражение:

\[0.32f - 4f_2 + 0.32f^2 + 4f_1 - f_1f_2 = 0.32м - 0.08f_2 + 4м - f_2 - 0.08(4ф + f_1)\]

Ставим все слагаемые на одну сторону уравнения и упрощаем:

\[0.32f - 0.08f^2 + 4f_2 - 4f_1 + f_1f_2 = 0.32м + 4м - f_2 + 0.32f_2 + 0.32ф + 0.08f_1\]

Теперь сгруппируем слагаемые:

\[0.08f^2 - 0.08f + f_2(f_1 - 0.32) + 0.08f_1 = 4.32м + 0.32f_2 + 0.32ф + 0.08f_1\]

Упростим уравнение и приведем подобные слагаемые:

\[0.08f^2 - 0.4f_2 + f_2f_1 = 4.32м + 0.24ф\]

Теперь упростим выражение, где останутся только коэффициенты (\(f^2\), \(f\), \(f_2\), \(f_1\)) и константы:

\[0.08f^2 - 0.4f_2 + f_2f_1 - 0.24ф - 4.32м = 0\]

Мы получили квадратное уравнение относительно фокусного расстояния (\(f\)).

Решив это уравнение, мы получаем два значения фокусного расстояния. Однако, физический смысл искомого растояния должен быть положительным и отличным от нуля, поэтому отсеем некорректные значения и выберем только положительное:

\[f = 0.16м\]

Таким образом, фокусное расстояние объектива проекционного аппарата равно 0.16 метра.