Какое количество 4-буквенных слов, включающих только буквы к, л, о, у, н, можно составить, если буква у должна

  • 43
Какое количество 4-буквенных слов, включающих только буквы к, л, о, у, н, можно составить, если буква у должна встречаться хотя бы один раз, а остальные разрешенные буквы могут повторяться любое количество раз или отсутствовать? Мне нужно детальное объяснение, я уже знаю ответ.
Arseniy
46
Для решения этой задачи нам потребуется применить принципы комбинаторики.

Первым шагом определим количество способов выбрать позиции для буквы "у" в слове. Так как дано условие, что буква "у" должна встречаться хотя бы один раз, то мы можем выбрать 1, 2, 3 или 4 позиции для неё. Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

1) Если мы выбираем 1 место для буквы "у", то количество способов выбрать это место равно 4 (так как у нас 4 буквы в слове).

2) Если мы выбираем 2 места для буквы "у", то количество способов выбрать эти места можно вычислить по формуле сочетаний:
\[{4 \choose 2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6.\]

3) Если мы выбираем 3 места для буквы "у", то количество способов выбрать эти места также можно вычислить по формуле сочетаний:
\[{4 \choose 3} = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = 4.\]

4) Если мы выбираем все 4 места для буквы "у", то количество способов выбрать эти места равно 1.

Теперь, когда мы знаем количество способов выбрать позиции для буквы "у", перейдём к выбору остальных букв (к, л, о, н).

Каждую из этих букв мы можем выбрать независимо друг от друга, и каждую букву мы можем выбрать повторяющуюся или не выбирать вовсе. Так как в каждой позиции может находиться одна из 5 букв, то количество способов выбрать позиции для этих букв равно 5^4, так как у нас 4 позиции.

Таким образом, общее количество 4-буквенных слов, удовлетворяющих условию задачи, можно вычислить как произведение количества способов выбрать позиции для буквы "у" и количества способов выбрать позиции для остальных разрешенных букв:
\[4 \cdot 5^4 = 4 \cdot 625 = 2500.\]

Итак, ответ на задачу составляет 2500.