Какое количество различных комбинаций мог установить Борис для своего велосипедного замка, учитывая, что он имеет

Магический_Тролль

31

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Сколько всего комбинаций может быть для 7 переключателей, если каждый из них может быть установлен в положение "1" или "0"? Для каждого переключателя у нас есть два возможных положения, поэтому общее количество комбинаций равно \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^7 = 128\).

Шаг 2: Теперь давайте узнаем, сколько из этих комбинаций имеют нечетное количество переключателей, установленных в положение "1". У нас два варианта: либо количество переключателей, установленных в положение "1", равно 1, 3, 5 или 7, либо же количество переключателей, установленных в положение "1", равно 0, 2, 4 или 6 (что автоматически означает, что число переключателей, установленных в положение "0", также будет нечетным).

- Если количество переключателей, установленных в положение "1", равно 1, у нас есть 7 возможных позиций для этого переключателя (позиции от 1 до 7). Остальные 6 переключателей можем установить любым из 2 возможных положений, то есть у нас существует \(7 \times 2^6\) комбинаций для этого случая.
- Если количество переключателей, установленных в положение "1", равно 3, у нас есть 7 возможных позиций, которые могут быть заняты тремя переключателями. Мы можем выбрать 3 позиции из 7 для переключателей, установленных в положение "1", а остальные 4 переключателя могут быть установлены в любом из 2 возможных положений. Поэтому общее количество комбинаций для этого случая равно \(\binom{7}{3} \times 2^4\) (где \(\binom{7}{3}\) обозначает количество сочетаний из 7 по 3).
- Подобным образом, для случаев, когда количество переключателей, установленных в положение "1", равно 5 и 7, мы можем применить аналогичные рассуждения и определить количество комбинаций для каждого из этих случаев.

Шаг 3: Теперь найдем сумму комбинаций для всех случаев, когда количество переключателей, установленных в положение "1", является нечетным. Она будет равна сумме количества комбинаций для каждого из этих случаев:

\[
\text{Общее количество комбинаций} = 7 \times 2^6 + \binom{7}{3} \times 2^4 + \binom{7}{5} \times 2^2 + \binom{7}{7} \times 2^0
\]

Теперь, чтобы посчитать эту сумму, давайте вычислим каждый отдельный элемент:

\[
7 \times 2^6 = 7 \times 64 = 448
\]
\[
\binom{7}{3} \times 2^4 = 35 \times 16 = 560
\]
\[
\binom{7}{5} \times 2^2 = 21 \times 4 = 84
\]
\[
\binom{7}{7} \times 2^0 = 1 \times 1 = 1
\]

Теперь найдем сумму:

\[
448 + 560 + 84 + 1 = 1093
\]

Итак, Борис может установить 1093 различных комбинации для своего велосипедного замка.