Какое количество различных путей может выбрать Дима, чтобы попасть к Кате, если в городе, где они живут, улицы образуют

Baron_4466

12

Чтобы решить данную задачу, давайте представим город с улицами в виде сетки квадратов. Пусть у нас есть город размером \(n\) по горизонтали и \(m\) по вертикали. Дима находится в одном углу города, а Катя - в противоположном углу.

Итак, чтобы попасть к Кате, Дима может двигаться только вправо или вверх по улицам города. Заметим, что при каждом перемещении Дима, его выбор заключается только в движении вправо или вверх. Таким образом, у Димы есть два возможных варианта действий на каждом шаге.

Давайте рассмотрим простой пример. Предположим, что город имеет размер 2 по горизонтали и 3 по вертикали. Обозначим клетку, где находится Дима, как "D", а клетку, где находится Катя, как "K". В таком случае, у нас есть следующая сетка города:

\[
\begin{array}{ccc}
D & - & - \\
- & - & - \\
- & - & K \\
\end{array}
\]

Кстати, обратите внимание, что в данном примере существует несколько различных путей, которыми Дима может попасть к Кате. Посчитаем эти пути.

Путь 1: Движение вправо -> Движение вправо -> Движение вверх
Путь 2: Движение вправо -> Движение вверх -> Движение вправо
Путь 3: Движение вверх -> Движение вправо -> Движение вправо

Всего у нас есть 3 различных пути, по которым Дима может попасть к Кате.

Теперь давайте рассмотрим общий случай для города размером \(n\) по горизонтали и \(m\) по вертикали, где \(n\) и \(m\) являются целыми положительными числами.

Чтобы подсчитать количество возможных путей, мы можем использовать комбинаторику. Мы хотим узнать, сколько различных путей существует для перемещения из клетки "D" в клетку "K".

Заметим, что чтобы попасть в любую клетку на правой границе города или верхней границе города, существует только один путь - двигаться всегда только вправо или всегда только вверх соответственно.

Теперь рассмотрим клетки, находящиеся внутри города. Давайте представим, что нам нужно достичь клетки (n-1, m-1). Чтобы попасть туда, мы можем выбрать движение вправо из клетки (n-2, m-1) или движение вверх из клетки (n-1, m-2). Таким образом, количество различных путей для достижения клетки (n-1, m-1) равно сумме количества путей для клеток (n-2, m-1) и (n-1, m-2).

Мы можем повторить этот процесс, чтобы найти количество различных путей для всех других клеток внутри города, двигаясь от клетки (0, 0) к клетке (n-1, m-1).

Итак, для клетки (0, 0) количество путей равно 0, так как Дима уже находится в углу города. Для клеток на верхней или левой границе города количество путей всегда равно 1. Для остальных клеток же количество путей можно найти с использованием суммы количества путей для соседних клеток.

Например, чтобы найти количество путей для клетки (1, 1), мы должны сложить количество путей от клетки (0, 1) (которое равно 1) и количество путей от клетки (1, 0) (также равное 1). Таким образом, количество путей для клетки (1, 1) будет равно 2.

Продолжая этот процесс, мы можем вычислить количество путей для всех клеток города и найти количество различных путей, которыми Дима может выбрать, чтобы попасть к Кате.

Надеюсь, это пошаговое объяснение поможет вам лучше понять, как определить количество различных путей, которые может выбрать Дима, чтобы попасть к Кате в городе с улицами в виде квадратов.