Какое количество ступенек нужно перешагнуть Андрею, чтобы спуститься вниз, если его позволяют перешагивать по 1

Yablonka

55

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать рекурсивный алгоритм. Давайте предположим, что нам нужно спуститься с \(n\) ступенек. Пусть \(f(n)\) - это количество способов спуститься с \(n\) ступенек. Мы знаем, что последний шаг может быть либо одноступенчатым (перешагнуть последнюю ступеньку сразу), либо двухступенчатым (перешагнуть последние две ступеньки сразу), либо трехступенчатым (перешагнуть последние три ступеньки сразу).

Если мы выбираем одноступенчатый шаг, то нам остается \(n-1\) ступенек. То есть способы спуститься с \(n-1\) ступеньки равны \(f(n-1)\).
Если мы выбираем двухступенчатый шаг, то нам остается \(n-2\) ступеньки. Способы спуститься с \(n-2\) ступеньки равны \(f(n-2)\).
Если мы выбираем трехступенчатый шаг, то нам остается \(n-3\) ступеньки. Способы спуститься с \(n-3\) ступеньки равны \(f(n-3)\).

Таким образом, общее количество способов спуститься с \(n\) ступенек будет равно сумме способов спуститься с \(n-1\), \(n-2\) и \(n-3\) ступеньек:

\[f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)\]

Изначально нам известны значения для \(f(0) = 1\), \(f(1) = 1\) и \(f(2) = 2\) (так как есть только одна ступенька, один способ перешагнуть ее и существует две возможность перешагнуть две ступеньки: 1-1 или 2).

Теперь давайте запишем программный код для решения этой задачи на языке Python:

python

def count_steps(n):

    if n == 0 or n == 1:

        return 1

    elif n == 2:

        return 2

    else:

        steps = [0] * (n + 1)

        steps[0] = 1

        steps[1] = 1

        steps[2] = 2

        for i in range(3, n + 1):

            steps[i] = steps[i-1] + steps[i-2] + steps[i-3]

        return steps[n]



n = int(input("Введите количество ступенек: "))

print("Количество способов спуститься:", count_steps(n))

В данном коде используется динамическое программирование для хранения числа способов спуститься с каждого количества ступенек от 0 до \(n\) в массиве `steps`. Мы начинаем с известных значений для \(f(0)\), \(f(1)\) и \(f(2)\), а затем проходимся по остальным значениям до \(n\), вычисляя сумму трех предыдущих значений.

Этот алгоритм обеспечивает точное количество способов спуститься с любого заданного количества ступенек \(n\).