Какое количество топлива потребуется для плавления льда, если тепловая машина с КПД 25% нагревает котел, содержащий

Snegir

49

Для решения задачи нам нужно использовать первое начало термодинамики, которое гласит, что изменение внутренней энергии тела равно сумме теплоты, подведенной к телу, и работы, совершенной над телом.

В нашей задаче лед нагревается до температуры плавления, поэтому нам нужно учесть также изменение его температуры. Первое начало термодинамики запишется следующим образом:

\(\Delta Q = \Delta U + \Delta W\),

где \(\Delta Q\) - теплота, подведенная к льду,
\(\Delta U\) - изменение внутренней энергии льда,
\(\Delta W\) - работа, совершенная над льдом.

Теплота, подведенная к льду, равна теплоемкости льда умноженной на изменение его температуры:

\(\Delta Q = C \cdot \Delta T\),

где \(C\) - теплоемкость льда,
\(\Delta T\) - изменение температуры льда.

Теперь нужно учесть, что часть подведенной теплоты будет использована для плавления льда, а часть - для нагревания уже получившейся воды. Для этого воспользуемся величиной нагреваемой энергии:

\(Q_{нагр} = Q - Q_{лед}\),

где \(Q_{нагр}\) - нагреваемая энергия,
\(Q\) - подведенная теплота к льду,
\(Q_{лед}\) - энергия, затраченная на плавление льда.

Теперь мы можем выразить каждую величину через известные величины:

\(Q = C \cdot \Delta T\),
\(Q_{лед} = m \cdot L\),
\(Q_{нагр} = Q - Q_{лед}\),

где \(m\) - масса льда,
\(L\) - удельная теплота плавления.

КПД тепловой машины определяется как отношение полезной работы к затраченной энергии:

\(\text{КПД} = \frac{\text{Полезная работа}}{\text{Затраченная энергия}}\).

Так как нам дано значение КПД, мы можем выразить затраченную энергию через полезную работу следующим образом:

\(\text{Энергия} = \frac{\text{Полезная работа}}{\text{КПД}}\).

В нашем случае полезная работа равна нагреваемой энергии \(Q_{нагр}\), поэтому:

\(\text{Энергия} = \frac{Q_{нагр}}{\text{КПД}}\).

Объем воды, вылитой из котла, можно выразить через массу воды:

\(V = \frac{m}{\rho}\),

где \(V\) - объем воды,
\(\rho\) - плотность воды.

Теперь у нас есть все необходимые формулы для решения задачи. Давайте приступим к вычислениям.

Шаг 1: Вычислим подведенную теплоту \(Q\) к льду:
Мы знаем, что удельная теплоемкость льда \(C = 2.09 \, \text{Дж/град}$.
Изначальная температура льда -10°C, а температура плавления льда 0°C.
Поэтому изменение температуры \(\Delta T = 0 - (-10) = 10 \, ^\circ\text{C}\).
Подставим все в формулу:

\(Q = C \cdot \Delta T = 2.09 \cdot 10 = 20.9 \, \text{Дж}\).

Шаг 2: Вычислим энергию, затраченную на плавление льда \(Q_{лед}\):
Мы знаем массу льда \(m = 4 \, \text{кг}\) и удельную теплоту плавления \(L = 334 \, \text{Дж/г}\).
Подставим все в формулу:

\(Q_{лед} = m \cdot L = 4 \cdot 334 = 1336 \, \text{Дж}\).

Шаг 3: Вычислим нагреваемую энергию \(Q_{нагр}\):
\(Q_{нагр} = Q - Q_{лед} = 20.9 - 1336 = -1315.1 \, \text{Дж}\).
Отрицательный знак говорит о том, что вся подведенная энергия была использована для плавления льда.

Шаг 4: Вычислим затраченную энергию (\text{Энергия}) с помощью КПД:
Мы знаем, что КПД равен 25%, то есть 0.25.
Подставляем значения в формулу:

\(\text{Энергия} = \frac{Q_{нагр}}{\text{КПД}} = \frac{-1315.1}{0.25} = -5260.4 \, \text{Дж}\).

Шаг 5: Вычислим объем воды, вылитой из котла (\(V\)):
Мы знаем массу воды, равную массе льда \(m = 4 \, \text{кг}\).
Плотность воды при температуре плавления \(0^\circ\text{C}\) составляет \(\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3\).
Подставляем значения в формулу:

\(V = \frac{m}{\rho} = \frac{4}{1000} = 0.004 \, \text{м}^3\).

Итак, ответ на задачу:
Для плавления льда с массой 4 кг потребуется \(20.9 \, \text{Дж}\) теплоты.
Из котла выльется \(0.004 \, \text{м}^3\) воды.