Какое максимальное количество крестиков Женя и Сеня могут поставить на доску размером 21×21 в игре крестики-крестики
Какое максимальное количество крестиков Женя и Сеня могут поставить на доску размером 21×21 в игре "крестики-крестики", при условии, что они не могут ставить 7 крестиков подряд по горизонтали или вертикали, но могут по диагонали? Ответ: количество крестиков.
Лапуля_5031 5
Мы можем найти максимальное количество возможных крестиков, которые могут поставить Женя и Сеня на доску 21x21, используя принцип Дирихле. Сначала рассмотрим два случая - когда на доске есть ряды семи крестиков подряд по горизонтали или вертикали, и когда таких рядов нет.1. Сначала рассмотрим случай, когда на доске есть ряды семи крестиков подряд.
Пусть на доске есть горизонтальные ряды из семи крестиков. Поскольку никто не может ставить семь крестиков подряд, мы увидим, что каждый восьмой столбец будет пустым. Таким образом, мы можем "заполнить" каждый восьмой столбец крестиками, и остальные столбцы останутся пустыми. В каждом заполненном столбце будет по семь крестиков, и всего будет 2 заполненных столбца.
Аналогично, если есть вертикальные ряды из семи крестиков, то каждая восьмая строка станет пустой. Мы также можем заполнить каждую восьмую строку крестиками, и остальные строки останутся пустыми. В каждой заполненной строке будет по семь крестиков, и снова будет 2 заполненные строки.
Таким образом, если у нас есть горизонтальные и вертикальные ряды из семи крестиков, то мы можем поставить 2 крестика в каждом заполненном столбце и 2 крестика в каждой заполненной строке.
2. Второй случай - когда на доске нет рядов семи крестиков подряд ни по горизонтали, ни по вертикали.
В этом случае мы можем разместить крестики таким образом, чтобы ни одна горизонтальная или вертикальная строка не содержала больше чем шесть крестиков. Мы можем заполнять доску с шагом 8 - это означает, что мы ставим крестик на клетку с координатами (1, 1), затем на клетку (9, 9), потом (17, 17) и так далее. Таким образом, мы охватываем все горизонтальные и вертикальные строки и заполняем их по шесть крестиков каждая. Остальные клетки остаются пустыми.
Число заполненных строк равно 21 деленное на 8, округленное вниз, что равно 2. Число заполненных столбцов также равно 2. Поэтому мы можем поставить 2 крестика в каждой заполненной строке и 2 крестика в каждом заполненном столбце.
Таким образом, общее максимальное количество крестиков, которое могут поставить Женя и Сеня на доску 21x21 в игре "крестики-крестики", в условиях задачи, равно \(2 \times 7 + 2 \times 6 = 26\).