Какое максимальное значение принимает функция y = 3cosx + cos3x/5 на интервале (-p/2;p/2)?

Arina

46

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Исходная функция у нас имеет вид y = 3cosx + cos^3x/5.

2. Мы хотим найти максимальное значение функции на интервале (-π/2; π/2).

3. Для того чтобы найти максимальное значение функции, нам нужно найти точку, где производная функции равна нулю или не существует.

4. Начнем с нахождения производной функции y по переменной x.

y" = -3sinx - (3/5)sin^3x.

5. Теперь прировняем производную к нулю и решим уравнение:

-3sinx - (3/5)sin^3x = 0.

6. Решим это уравнение. Мы можем вынести sinx за скобку:

sinx(-3 - (3/5)sin^2x) = 0.

7. Уравнение имеет два корня: sinx = 0 или (-3/5)sin^2x + 3 = 0.

8. Первое уравнение sinx = 0 имеет корни при x = 0 и x = π.

9. Второе уравнение (-3/5)sin^2x + 3 = 0 можно решить следующим образом:

(-3/5)sin^2x = -3,
sin^2x = 5/3,
sinx = √(5/3) или sinx = -√(5/3).

Здесь мы берем положительный и отрицательный квадратный корень для нахождения всех возможных значений sinx.

10. Чтобы найти все значения x, для которых функция достигает максимального значения, мы должны проверить каждый корень второго уравнения в исходной функции.

11. Подставим x = 0 в исходную функцию:

y(0) = 3cos(0) + cos^3(0)/5 = 3 + 1/5 = 16/5.

12. Теперь подставим x = π в исходную функцию:

y(π) = 3cos(π) + cos^3(π)/5 = -3 + 1/5 = -14/5.

13. Теперь подставим x = arcsin(√(5/3)) в исходную функцию:

y(arcsin(√(5/3))) = 3cos(arcsin(√(5/3))) + cos^3(arcsin(√(5/3)))/5.

Здесь мы используем тригонометрическую формулу cos(arcsin(x)) = √(1 - x^2):

y(arcsin(√(5/3))) = 3√(1 - (5/3)) + (√(5/3))^3/5 = 3√(3/3) + 5√(5/3)/3 = 3 + 5√(5/3)/3.

14. Подставим x = arcsin(-√(5/3)) в исходную функцию:

y(arcsin(-√(5/3))) = 3cos(arcsin(-√(5/3))) + cos^3(arcsin(-√(5/3)))/5.

Здесь мы снова используем тригонометрическую формулу cos(arcsin(x)) = √(1 - x^2):

y(arcsin(-√(5/3))) = 3√(1 - (-5/3)) + ((-√(5/3)))^3/5 = 3√(8/3) - 5√(5/3)/3 = 3√(8/3) - 5√(5/3)/3.

15. Теперь у нас есть все значения функции на заданном интервале. Чтобы найти максимальное значение, мы должны выбрать наибольшее из этих значений:

Максимальное значение функции: max(16/5, -14/5, 3 + 5√(5/3)/3, 3√(8/3) - 5√(5/3)/3).

Вычислив это выражение, мы получим окончательный ответ на задачу.

Пожалуйста, используйте калькулятор для точных значений корней и сделайте окончательные вычисления для получения значения функции.