Какое уравнение плоскости проходит через начало координат и перпендикулярно вектору n, где косинусы направляющих равны

Елизавета

64

Для начала, давайте найдем нормальный вектор плоскости. Известно, что вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен к обоим векторам, определяющим направление плоскости.

Поскольку у нас даны косинусы направляющих векторов, мы можем использовать их, чтобы найти значения самих направляющих векторов. Для этого, мы можем воспользоваться следующими формулами:
\[
\text{{cos}}(\alpha) = \frac{{\text{{скалярное произведение вектора}}}}{{\text{{произведение длин векторов}}}}
\]

Мы знаем, что косинус угла \(\text{{cosa}} = -\frac{1}{3}\). То есть:
\[
\frac{{\text{{скалярное произведение вектора}}}}{{\text{{произведение длин векторов}}}} = -\frac{1}{3}
\]

Давайте обозначим векторы, определяющие направления плоскости, как \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Тогда мы можем записать:
\[
\frac{{\vec{a} \cdot \vec{n}}}{{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|}} = -\frac{1}{3}
\]

Аналогично для косинуса угла \(\text{{cosb}} = \frac{2}{3}\), мы можем записать:
\[
\frac{{\vec{b} \cdot \vec{n}}}{{|\vec{b}| \cdot |\vec{n}|}} = \frac{2}{3}
\]

Давайте теперь решим эти два уравнения относительно \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

1. Уравнение с \(\text{{cos}}(\alpha) = -\frac{1}{3}\):
\[
\frac{{\vec{a} \cdot \vec{n}}}{{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|}} = -\frac{1}{3}
\]

Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{n}\) может быть записано через координаты этих векторов:
\[
\vec{a} \cdot \vec{n} = a_1 \cdot n_1 + a_2 \cdot n_2 + a_3 \cdot n_3
\]

А длина вектора \(\vec{a}\) может быть найдена как:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}
\]

Аналогично, для \(\vec{b}\) имеем:
\[
\frac{{\vec{b} \cdot \vec{n}}}{{|\vec{b}| \cdot |\vec{n}|}} = \frac{2}{3}
\]
\[
\vec{b} \cdot \vec{n} = b_1 \cdot n_1 + b_2 \cdot n_2 + b_3 \cdot n_3
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}
\]

2. Уравнение с \(\text{{cos}}(\beta) = \frac{2}{3}\).

Давайте найдем значения искомых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) с помощью этих уравнений.

Теперь, чтобы узнать уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и перпендикулярна вектору \(\vec{n}\), мы можем использовать нормальное уравнение плоскости:
\[
a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = 0
\]

Здесь \(a\), \(b\), и \(c\) - это координаты нормального вектора к плоскости.

В нашем случае, нам известно, что плоскость должна проходить через начало координат, то есть через точку (0, 0, 0), поэтому уравнение плоскости будет выглядеть следующим образом:
\[
a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0
\]

Это дает нам:
\[
0 = 0
\]

Таким образом, уравнение плоскости будет иметь вид:
\[
0 = 0
\]

Теперь давайте проверим, будет ли искомая плоскость перпендикулярна плоскости \(4x + y - z = 0\). Для этого мы можем проверить, что нормальный вектор искомой плоскости, заданной уравнением \(a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = 0\), является перпендикулярным вектору плоскости \(4x + y - z = 0\).

Нормальный вектор плоскости \(4x + y - z = 0\) можно определить по коэффициентам перед переменными \(x\), \(y\), и \(z\) в уравнении. В данном случае, коэффициенты соответствуют значениям \((4, 1, -1)\).

Таким образом, чтобы проверить, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости \(4x + y - z = 0\), мы можем проверить, что их нормальные векторы являются перпендикулярными. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно нулю:
\[
\vec{n} \cdot \vec{n}_{\text{{пл}}} = n_1 \cdot n_{\text{{пл},1}} + n_2 \cdot n_{\text{{пл},2}} + n_3 \cdot n_{\text{{пл},3}} = 0
\]

Подставляя значения нормальных векторов из условия \(n_1 = a\), \(n_2 = b\), \(n_3 = c\) и \(n_{\text{{пл},1}} = 4\), \(n_{\text{{пл},2}} = 1\), \(n_{\text{{пл},3}} = -1\) в данное уравнение, мы можем узнать, перпендикулярна ли искомая плоскость плоскости \(4x + y - z = 0\).

Давайте теперь вычислим значения, чтобы найти решение этой задачи.