Какое местоположение и какой заряд требуется для достижения равновесия системы, состоящей из двух точечных зарядов

Zagadochnyy_Ubiyca_1656

58

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон Кулона, который устанавливает зависимость силы между двумя точечными зарядами от их величины и расстояния между ними.

По закону Кулона, сила между двумя точечными зарядами \( F \) определяется следующей формулой:

\[ F = \dfrac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} \]

где \( k \) - постоянная Кулона (\( 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( q_1 \) и \( q_2 \) - заряды точечных зарядов, \( r \) - расстояние между зарядами.

Сила между зарядами также может быть представлена как разность потенциалов, задаваемых зарядами. Если система находится в равновесии, то силы, действующие на каждый заряд, должны быть равны и противоположно направлены.

Таким образом, для достижения равновесия системы, сила, вызванная зарядом \( q_1 \), должна быть равна силе, вызванной зарядом \( q_2 \). Исходя из этого, мы можем записать следующее равенство:

\[ \dfrac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r_1^2}} = \dfrac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r_2^2}} \]

где \( r_1 \) и \( r_2 \) - расстояния от каждого заряда до точки равновесия.

Так как мы хотим найти расстояние и заряд для достижения равновесия, передвигаем заряд \( q_1 \) на \( r_1 \) и заряд \( q_2 \) на \( r_2 \).

Учитывая, что \( r_2 = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м} \), можно найти \( r_1 \).

\[ \dfrac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r_1^2}} = \dfrac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{(r_1 + 0.1)^2}} \]

Раскрывая скобки и упрощая уравнение, получим:

\[ r_1^2 + 0.2 \cdot r_1 - 1 = 0 \]

Теперь можем решить квадратное уравнение. Найдем дискриминант и применим формулу корней:

\[ D = (0.2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 0.24 \]

\[ r_1 = \dfrac{{-0.2 \pm \sqrt{D}}}{{2 \cdot 1}} = -0.1 \pm 0.2 \]

Так как расстояние не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

\[ r_1 = -0.1 + 0.2 = 0.1 \, \text{м} = 10 \, \text{см} \]

Теперь находим заряд, который нужен для достижения равновесия. Используем следующее равенство:

\[ q_1 = \dfrac{{r_2^2 \cdot q_2}}{{r_1^2}} \]

Подставляя значения, получим:

\[ q_1 = \dfrac{{(0.1)^2 \cdot (-8 \times 10^{-6})}}{{(0.1)^2}} = -8 \times 10^{-6} \, \text{Кл} = -8 \, \text{мкКл} \]

Таким образом, для достижения равновесия системы, заряд \( q_1 \) должен быть равен -8 мкКл, а расстояние \( r_1 \) должно быть 10 см.