Какое минимальное произведение ненулевых значений а и b может привести к существованию решения системы tgx + 300 * sinx

Pizhon

10

Для решения этой задачи, нам необходимо найти такие значения переменных \(a\) и \(b\), чтобы система уравнений
\[
\begin{align*}
\tan(x) + 300 \cdot \sin(x) &= a \\
\cot(x) + 300 \cdot \cos(x) &= b
\end{align*}
\]
имела решение.

Для начала, заметим, что \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\) и \(\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})\).

Подставим эти выражения во второе уравнение:

\[
\frac{1}{\tan(x)} + 300 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{2}) = b
\]

Преобразуем данное уравнение:

\[
\frac{\cos(x)}{\sin(x)} + 300 \cdot \cos(x) = b
\]

Заметим, что если \(\sin(x)\) равно нулю, то \(\cos(x)\) не будет определено и наоборот. Поэтому, чтобы система уравнений существовала, необходимо, чтобы \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) не обращались в ноль одновременно.

Пусть \(\sin(x) = 0\), тогда, согласно первому уравнению, \(a = 0 + 300 \cdot 0 = 0\). Подставим второе уравнение:

\[
\frac{\cos(x)}{0} + 300 \cdot \cos(x) = b
\]

Так как \(\frac{\cos(x)}{0}\) не определено, система не имеет решений, когда \(\sin(x) = 0\).

Пусть теперь \(\cos(x) = 0\), тогда согласно первому уравнению \(a = \tan(x) + 300 \cdot 0 = \tan(x)\). Подставим второе уравнение:

\[
\frac{1}{\tan(x)} + 300 \cdot 0 = b
\]

Отсюда получаем, что \(b = \frac{1}{\tan(x)}\).

Теперь, чтобы найти минимальное произведение \(a \cdot b\), найдем минимальные значения для \(a\) и \(b\).

Минимальное значение для \(a\) получим, когда \(\tan(x)\) равен наименьшему возможному значению тангенса. Наименьшее значение тангенса равно \(-\infty\), когда \(x\rightarrow -\frac{\pi}{2}\) (то есть угол стремится к \(-\frac{\pi}{2}\) снизу). Тогда минимальное значение для \(a\) равно \(\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right)\), но так как \(\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right)\) не существует, то мы не можем найти точное значение.

Минимальное значение для \(b\) получим, когда \(\tan(x)\) равен наибольшему возможному значению тангенса. Наибольшее значение тангенса равно \(\infty\), когда \(x\rightarrow \frac{\pi}{2}\) (то есть угол стремится к \(\frac{\pi}{2}\) сверху). Тогда минимальное значение для \(b\) равно \(\frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{\infty} = 0\).

Итак, минимальное произведение \(a \cdot b\) равно:
\[
\left(\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot 0 = (\text{не существует}) \cdot 0 = \text{не существует}
\]

Таким образом, для данной системы уравнений не существует минимального произведения ненулевых значений \(a\) и \(b\), приводящего к существованию решения.