Какое наибольшее целое число может быть корнем уравнения a²x² + ax + 1, если оба корня являются отрицательными целыми

Maksim_5997

7

Давайте решим задачу по шагам. У нас есть квадратное уравнение \(a^2x^2 + ax + 1 = 0\), и мы хотим найти наибольшее целое значение, которое может быть корнем этого уравнения. Обратите внимание, что у нас есть два ограничения: корни должны быть числами и должны быть отрицательными.

1. Посмотрим на дискриминант \(D\) квадратного уравнения. Он вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения. В нашем случае \(a^2 = a\), так как у нас только одно слагаемое \(a^2x^2\), поэтому \(D = a^2 - 4ac\).

2. У нас есть два отрицательных корня. Мы знаем, что для квадратного уравнения отрицательные корни существуют только тогда, когда его дискриминант \(D\) положительный. То есть, \(D > 0\).

3. Подставим значение \(D\), равное \(a^2 - 4ac\), в неравенство \(D > 0\) и решим его относительно \(a\).

\(a^2 - 4ac > 0\)\
\(a(a - 4c) > 0\)

4. Так как у нас корни должны быть отрицательными числами, то мы можем предположить, что \(a < 0\). С другой стороны, чтобы неравенство \(a(a - 4c) > 0\) выполнилось, необходимо, чтобы одна из скобок была положительной (для отрицательного числа умножение на другое отрицательное число дает положительное значение). Мы уже предположили, что \(a < 0\), поэтому чтобы \(a(a - 4c) > 0\), должно выполняться неравенство \(a - 4c < 0\).

5. Решим неравенство \(a - 4c < 0\) относительно \(a\) при условии \(a < 0\).

\(a - 4c < 0\)\
\(a < 4c\)

6. Получили неравенство \(a < 4c\), где \(a < 0\).

Таким образом, мы пришли к выводу, что наибольшее значение целого числа \(a\), для которого оба корня отрицательны, можно получить, если \(a\) максимально близко к нулю, но все-таки меньше \(4c\), где \(c\) - целое число.

Надеюсь, эта пошаговая разборка помогла вам понять, как можно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее условию задачи.