Какое наибольшее значение импульса фонона может быть в серебре, если известно, что скорость поперечных волн составляет

Magnitnyy_Magistr

10

Для решения этой задачи, мы можем использовать соотношение между энергией фотона (E) и его импульсом (p), а именно \(E = pc\), где \(c\) - скорость света.

Импульс фонона связан с его энергией с помощью соотношения Дебая: \(E = \hbar\omega\), где \(\omega\) - круговая частота колебаний фонона, а \(\hbar\) - приведенная постоянная Планка.

Также, можно найти круговую частоту колебаний фонона в серебре, используя соотношение \(\omega = v / \lambda\), где \(v\) - скорость волны, а \(\lambda\) - длина волны.

Для того чтобы найти наибольшее значение импульса фонона в серебре, мы должны найти наименьшую круговую частоту, которая соответствует наибольшему импульсу.

Давайте вычислим круговую частоту колебаний фонона:
\[\omega = \frac{v_{\text{поперечных волн}}}{\lambda_{\text{поперечных волн}}} = \frac{1590\, \text{м/с}}{\lambda_{\text{поперечных волн}}}\]
и
\[\omega = \frac{v_{\text{продольных волн}}}{\lambda_{\text{продольных волн}}} = \frac{3600\, \text{м/с}}{\lambda_{\text{продольных волн}}}\]

Таким образом, получим систему уравнений:
\[\frac{1590}{\lambda_{\text{поперечных волн}}} = \frac{3600}{\lambda_{\text{продольных волн}}}\]

Длина волны фотона связана с круговой частотой и скоростью света: \(\lambda_{\text{фотона}} = \frac{2\pi c}{\omega_{\text{фотона}}}\)

Для нахождения импульса фонона, мы можем использовать соотношение между энергией и импульсом фонона:
\[E_{\text{фонона}} = \hbar\omega_{\text{фотона}} = pc_{\text{фонона}}\]

Так как фонон обладает наибольшим импульсом, то можно использовать формулу для максимального импульса квантов с одинаковой энергией (фононы разных частот имеют одинаковую энергию) в трехмерной системе:
\[p_{\text{макс}} = \frac{2\pi}{\lambda_{\text{фотона}}}\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Подставим \(v_{\text{поперечных волн}} = 1590\, \text{м/с}\) и \(v_{\text{продольных волн}} = 3600\, \text{м/с}\) в систему уравнений для нахождения длин волн поперечных и продольных волн:
\[\frac{1590}{\lambda_{\text{поперечных волн}}} = \frac{3600}{\lambda_{\text{продольных волн}}}\]

Теперь найдем значения \(\lambda_{\text{поперечных волн}}\) и \(\lambda_{\text{продольных волн}}\).
\[\lambda_{\text{поперечных волн}} = \frac{1590}{3600} \lambda_{\text{продольных волн}}\]

Подставим формулу для \(\lambda_{\text{фотона}}\) в формулу для импульса:
\[p_{\text{макс}} = \frac{2\pi c}{\omega_{\text{фотона}}} = \frac{2\pi c}{v_{\text{фотона}} / \lambda_{\text{фотона}}}\]

Теперь, выразим \(v_{\text{фотона}}\) через \(\omega_{\text{фотона}}\):
\[v_{\text{фотона}} = \omega_{\text{фотона}} \lambda_{\text{фотона}}\]

Подставим полученные выражения:
\[p_{\text{макс}} = \frac{2\pi c}{\frac{\omega_{\text{фотона}}}{\lambda_{\text{фотона}}}} = \frac{2\pi c \lambda_{\text{фотона}}}{\omega_{\text{фотона}}}\]
\[p_{\text{макс}} = \frac{2\pi c \lambda_{\text{фотона}}}{v_{\text{фотона}}}\]

Теперь, найдем значения \(v_{\text{фотона}}\) и \(\omega_{\text{фотона}}\):
\[v_{\text{фотона}} = \frac{2\pi c \lambda_{\text{фотона}}}{p_{\text{макс}}}\]
\[\omega_{\text{фотона}} = \frac{v_{\text{фотона}}}{\lambda_{\text{фотона}}}\]

Теперь, найдем значения \(v_{\text{фотона}}\) и \(\omega_{\text{фотона}}\).

Подставим известные величины в выражение для \(v_{\text{фотона}}\):
\[v_{\text{фотона}} = \frac{2\pi \cdot 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \cdot \lambda_{\text{фотона}}}{p_{\text{макс}}}\]

Теперь, найдем значение \(\lambda_{\text{фотона}}\).

Для нахождения длины волны фотона, используем соотношение \(\lambda_{\text{фотона}} = \frac{2\pi c}{\omega_{\text{фотона}}}\):
\[\lambda_{\text{фотона}} = \frac{2\pi c}{v_{\text{фотона}}}\]

Теперь, подставим полученные значения и найдем решение задачи.

\[v_{\text{фотона}} = \frac{2\pi \cdot 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \cdot \left(\frac{2\pi c \lambda_{\text{фотона}}}{p_{\text{макс}}}\right)}{p_{\text{макс}}}\]
\[\omega_{\text{фотона}} = \frac{v_{\text{фотона}}}{\lambda_{\text{фотона}}} = \frac{2\pi c \lambda_{\text{фотона}}}{p_{\text{макс}} \cdot \lambda_{\text{фотона}}}\]

Теперь, решим систему уравнений и найдем значения искомых величин.