Какое наибольшее значение можно присвоить наибольшему из пяти неотрицательных чисел, если сумма всех пяти чисел равна

Timka

22

Давайте решим эту задачу пошагово. Предположим, что наибольшее число из пяти неотрицательных чисел обозначается как \(a\).

Шаг 1: Обозначим остальные четыре числа как \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\).

Шаг 2: У нас есть два условия:
- Сумма всех пяти чисел равна 4: \(a + b + c + d + e = 4\).
- Сумма их квадратов равна 6,4: \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 6,4\).

Шаг 3: Из-за условия, что числа неотрицательные, мы знаем, что \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\) больше или равны нулю. Это позволяет нам использовать метод Лагранжа для нахождения экстремума функции.

Шаг 4: Запишем функцию Лагранжа \(L\) с учетом наших условий:
\[L(a, b, c, d, e, \lambda) = a - \lambda(a + b + c + d + e - 4) + \lambda_2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - 6,4)\],

где \(\lambda\) и \(\lambda_2\) - множители Лагранжа, вводимые для учета наших условий.

Шаг 5: Чтобы найти максимальное значение \(a\), мы должны найти его критические точки. Для этого возьмем частные производные функции \(L\) по переменным \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) и \(\lambda\) и прировняем их к нулю.

Частные производные:
\[\frac{{\partial L}}{{\partial a}} = 1 - \lambda + 2\lambda_2a\]
\[\frac{{\partial L}}{{\partial b}} = -\lambda + 2\lambda_2b\]
\[\frac{{\partial L}}{{\partial c}} = -\lambda + 2\lambda_2c\]
\[\frac{{\partial L}}{{\partial d}} = -\lambda + 2\lambda_2d\]
\[\frac{{\partial L}}{{\partial e}} = -\lambda + 2\lambda_2e\]
\[\frac{{\partial L}}{{\partial \lambda}} = -(a + b + c + d + e - 4)\]
\[= -(a + b + c + d + e) + 4\]

Теперь приравняем каждую из этих производных к нулю:
\[1 - \lambda + 2\lambda_2a = 0\]
\[-\lambda + 2\lambda_2b = 0\]
\[-\lambda + 2\lambda_2c = 0\]
\[-\lambda + 2\lambda_2d = 0\]
\[-\lambda + 2\lambda_2e = 0\]
\[-(a + b + c + d + e) + 4 = 0\]

Шаг 6: Решим эту систему уравнений с помощью метода подстановки или метода исключения. Подставим значения в пятую строку в первые четыре строки:
\[1 - \lambda + 2\lambda_2a = 0\]
\[-\lambda + 2\lambda_2b = 0\]
\[-\lambda + 2\lambda_2c = 0\]
\[-\lambda + 2\lambda_2d = 0\]
\[-\lambda + 2\lambda_2(4 - a - b - c - d) = 0\]

Шаг 7: Используя эти значения, найдем выражения для \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\).

Из первого уравнения:
\[1 - \lambda + 2\lambda_2a = 0 \Rightarrow a = \frac{{\lambda - 1}}{{2\lambda_2}}\]

Из второго уравнения:
\[-\lambda + 2\lambda_2b = 0 \Rightarrow b = \frac{\lambda}{{2\lambda_2}}\]

Из третьего уравнения:
\[-\lambda + 2\lambda_2c = 0 \Rightarrow c = \frac{\lambda}{{2\lambda_2}}\]

Из четвертого уравнения:
\[-\lambda + 2\lambda_2d = 0 \Rightarrow d = \frac{\lambda}{{2\lambda_2}}\]

Из пятого уравнения:
\[-\lambda + 2\lambda_2(4 - a - b - c - d) = 0\]

Подставим значения \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) в это уравнение:
\[-\lambda + 2\lambda_2\left(4 - \frac{{\lambda - 1}}{{2\lambda_2}} - \frac{\lambda}{{2\lambda_2}} - \frac{\lambda}{{2\lambda_2}} - \frac{\lambda}{{2\lambda_2}}\right) = 0\]

Шаг 8: Упростим эту уравнение и решим его:

\[-\lambda + 2\lambda_2\left(4 - \frac{{4\lambda - 2}}{{2\lambda_2}} - \frac{{4\lambda}}{{2\lambda_2}}\right) = 0\]

Возьмем общий знаменатель и упростим еще дальше:
\[-\lambda + 2\lambda_2\left(4 - \frac{{8\lambda - 2}}{{2\lambda_2}}\right) = 0\]
\[-\lambda + 8\lambda_2 - \frac{{16\lambda - 4}}{{2\lambda_2}} = 0\]
\[-\lambda + 8\lambda_2 - \frac{{8(2\lambda - 1)}}{{2\lambda_2}} = 0\]

Перенесем слагаемые и получим:
\[\frac{{8(2\lambda - 1)}}{{2\lambda_2}} = \lambda - 8\lambda_2\]

Делаем общий знаменатель:
\[\frac{{16\lambda - 8}}{{2\lambda_2}} = \lambda - 8\lambda_2\]

Упрощаем:
\[8\lambda - 4 = 2\lambda_2\lambda - 16\lambda_2^2\]

Делим на 4:
\[2\lambda - 1 = \lambda_2\lambda - 4\lambda_2^2\]

Выражаем \(2\lambda\) через \(\lambda\):
\[\lambda = \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{1 - \lambda_2}}\]

Шаг 9: Подставим найденное значение \(\lambda\) в выражения для \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\):

\[a = \frac{{\lambda - 1}}{{2\lambda_2}} = \frac{{\frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{1 - \lambda_2}} - 1}}{{2\lambda_2}}\]
\[= \frac{{1 + 4\lambda_2^2 - (1 - \lambda_2)}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\]
\[= \frac{{5\lambda_2^2 + \lambda_2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\]

\[b = \frac{\lambda}{{2\lambda_2}} = \frac{{\frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{1 - \lambda_2}}}}{{2\lambda_2}}\]
\[= \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\]

\[c = \frac{\lambda}{{2\lambda_2}} = \frac{{\frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{1 - \lambda_2}}}}{{2\lambda_2}}\]
\[= \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\]

\[d = \frac{\lambda}{{2\lambda_2}} = \frac{{\frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{1 - \lambda_2}}}}{{2\lambda_2}}\]
\[= \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\]

\[e = 4 - a - b - c - d\]
\[= 4 - \frac{{5\lambda_2^2 + \lambda_2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}} - \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}} - \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}} - \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\]
\[= \frac{{4(1 - \lambda_2)(1 - 2\lambda_2)}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\]

Шаг 10: Теперь заменим обратно \(\lambda\) на \(a\):

\(a = \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{1 - \lambda_2}}\),
\(b = \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\),
\(c = \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\),
\(d = \frac{{1 + 4\lambda_2^2}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\),
\(e = \frac{{4(1 - \lambda_2)(1 - 2\lambda_2)}}{{2\lambda_2(1 - \lambda_2)}}\).

Шаг 11: Теперь заметим, что \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\) - неотрицательные числа.

a) Если \(\lambda_2 = 0\), то \(e = \frac{4}{2\lambda_2} = \infty\). Но так как все числа должны быть неотрицательными и их сумма равна 4, это случай невозможен.

b) Если \(\lambda_2 \neq 0\), то числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\) должны быть неотрицательными.

Из уравнения для \(e\) видно, что \((1 - 2\lambda_2) > 0\), так как \(\lambda_2\) не может быть больше 1. Поэтому знаменатель должен быть положительным числом.

Для того, чтобы \(e\) было неотрицательным, числитель должен быть равен или меньше 0.

Давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: \(1 + 4\lambda_2^2 \leq 0\)
Какие значения \(\lambda_2\) удовлетворяют этому неравенству? Ни одно из них, так как число квадратов никогда не может быть меньше или равно 0.

Случай 2: \(1 + 4\lambda_2^2 > 0\)
Если \(\lambda_2\) удовлетворяет этому неравенству, числитель в формуле для \(e\) положителен.

Для того, чтобы \(e\) было неотрицательным, нужно, чтобы и знаменатель был положительным, то есть чтобы \(\lambda_2\) не равнялось 1.

Более того, если \(\lambda_2\) отрицательный, знаменатель становится отрицательным, и \(e\) перестаёт быть неотрицательным. Таким образом, \(\lambda_2\) должно быть положительным.

Шаг 12: Таким образом, чтобы \((a, b, c, d, e)\) были неотрицательными числами, \(\lambda_2\) должно быть положительным и меньшим 1.

Шаг 13: Подставим максимальное значение \(\lambda_2 = 1\) для нахождения максимального значения \(e\):
\[e = \frac{{4(1 - 1)(1 - 2\cdot 1)}}{{2\cdot 1(1 - 1)}} = \frac{0}{0}\]
Странно, у нас получилось \(\frac{0}{0}\), что является неопределенностью. Это означает, что нет максимального значения для \(e\) при этом выборе \(\lambda_2\).

Шаг 14: Значит, максимальное значение \(e\) не существует.

Вывод: В данной задаче нет максимального значения, которое можно присвоить наибольшему из пяти неотрицательных чисел, при условиях, которые даны.