Какое наибольшее значение принимает функция y=(x+2)2(x+8)-7 на интервале [-12;-4]?

Таинственный_Оракул

60

Перед тем, как решать эту задачу, давайте проанализируем вид функции \(y = (x+2)^2(x+8) - 7\). Эта функция представляет собой квадратичную функцию, так как имеет два вхождения \(x\) с полажительной степенью и одно вхождение с отрицательной степенью.

Интервал \([-12;-4]\) означает, что нам нужно исследовать функцию на этом промежутке числовой оси и найти наибольшее значение функции на этом интервале. Для этого мы проанализируем функцию на экстремумы, то есть на точки максимума или минимума.

Начнем с нахождения производной функции \(y"(x)\). Для этого проделаем следующие шаги:

1. Раскроем квадратной скобки, умножив каждую скобку на \(x\):
\[y = (x+2)^2(x+8) - 7\]
\[y = (x^2 + 4x + 4)(x+8) - 7\]
\[y = x^3 + 12x^2 + 32x + 32x + 32 - 7\]
\[y = x^3 + 12x^2 + 64x + 25\]

2. Теперь найдем производную функции \(y"(x)\), применив правило дифференцирования для каждого слагаемого:
\[y"(x) = 3x^2 + 24x + 64\]

Мы найдем критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует) и проверим их значение на интервале \([-12;-4]\). Эти точки могут быть экстремумами функции.

3. Найдем значения \(x\), при которых производная равна нулю:
\[3x^2 + 24x + 64 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \(D\) равен \(b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае \(a = 3, b = 24\) и \(c = 64\). Рассчитаем дискриминант:
\[D = 24^2 - 4 \cdot 3 \cdot 64\]
\[D = 576 - 768\]
\[D = -192\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней и, следовательно, производная никогда не равна нулю на интервале \([-12;-4]\).

4. Найдем значение производной на концах интервала:
Подставим \(x = -12\) и \(x = -4\) в выражение для производной:
\[y"(-12) = 3 \cdot (-12)^2 + 24 \cdot (-12) + 64\]
\[y"(-12) = 432 - 288 + 64\]
\[y"(-12) = 208\]

\[y"(-4) = 3 \cdot (-4)^2 + 24 \cdot (-4) + 64\]
\[y"(-4) = 48 - 96 + 64\]
\[y"(-4) = 16\]

Заметим, что \(y"(-12) = 208\) и \(y"(-4) = 16\) не равны нулю на интервале \([-12;-4]\).

Таким образом, мы не нашли точек, где производная равна нулю, и значит у нас нет экстремумов на интервале \([-12;-4]\).

Теперь мы можем установить такое значение \(x\), при котором функция достигает максимального значения на интервале \([-12;-4]\). Для этого мы можем рассчитать значения функции \(y\) в концах интервала и выбрать наибольшее из них.

5. Найдем значение функции в концах интервала:

Подставим \(x = -12\) и \(x = -4\) в выражение для функции \(y\):
\[y(-12) = (-12+2)^2(-12+8) - 7\]
\[y(-12) = (-10)^2(-4) - 7\]
\[y(-12) = 100 \cdot (-4) - 7\]
\[y(-12) = -400 - 7\]
\[y(-12) = -407\]

\[y(-4) = (-4+2)^2(-4+8) - 7\]
\[y(-4) = (-2)^2(4) - 7\]
\[y(-4) = 4 \cdot 4 - 7\]
\[y(-4) = 16 - 7\]
\[y(-4) = 9\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(y = (x+2)^2(x+8) - 7\) на интервале \([-12;-4]\) равно -407.