Какое наименьшее целое значение а должно быть, чтобы выражение (y – x < a) ∨ (7x + 4y > 350) ∨ (3y – 2x > 45) было

Облако

15

Для решения данной задачи, нужно определить наименьшее целое значение переменной \(a\), при котором выражение \((y - x < a) \vee (7x + 4y > 350) \vee (3y - 2x > 45)\) будет истинным для всех положительных целых значений \(x\) и \(y\).

Давайте разберемся с каждым условием по отдельности.

1) Условие \(y - x < a\) определяет разность между \(y\) и \(x\), которая должна быть меньше значения \(a\). Чтобы это условие выполнялось для любых положительных целых значений \(x\) и \(y\), переменная \(a\) должна быть меньше или равна нулю, так как разность положительных целых чисел всегда будет положительной.

2) Условие \(7x + 4y > 350\) определяет линейное выражение, которое должно быть больше значения 350 для всех положительных целых значений \(x\) и \(y\). Данное выражение можно упростить, поделив его на 2:

\[\dfrac{7x}{2} + 2y > \dfrac{350}{2} \Rightarrow \dfrac{7x}{2} + 2y > 175.\]

Таким образом, чтобы это условие выполнялось для любых положительных целых значений \(x\) и \(y\), переменная \(a\) должна быть больше или равна 175.

3) Условие \(3y - 2x > 45\) также определяет линейное выражение, которое должно быть больше значения 45 для всех положительных целых значений \(x\) и \(y\). Аналогично, давайте разделим это выражение на 3:

\[\dfrac{3y}{3} - \dfrac{2x}{3} > \dfrac{45}{3} \Rightarrow y - \dfrac{2x}{3} > 15.\]

Таким образом, чтобы это условие выполнялось для любых положительных целых значений \(x\) и \(y\), переменная \(a\) должна быть больше или равна 15.

Теперь, чтобы получить наименьшее целое значение переменной \(a\), которое удовлетворяет всем указанным условиям, нужно выбрать максимальное значение из всех рассмотренных ограничений. В этом случае наименьшим целым значением \(a\) будет 175.