Какое наименьшее натуральное значение А гарантирует, что выражение (x> 40)∨(5y−3x> 150)∨(A≥(x−20)^2 +(y−20)^2) верно

Святослав

31

Для решения этой задачи нам нужно найти такое наименьшее натуральное значение А, которое гарантирует, что выражение \((x > 40) \lor (5y - 3x > 150) \lor (A \geq (x - 20)^2 + (y - 20)^2)\) будет верно для всех целых положительных значений переменных x и y.

Давайте разберемся с каждым членом этого выражения по очереди.

Первый член \((x > 40)\) означает, что x должно быть больше 40. Если значение x равно 40 или меньше, то это условие не будет выполняться.

Второй член \((5y - 3x > 150)\) говорит о том, что выражение \(5y - 3x\) должно быть больше 150. Давайте немного переформулируем это неравенство: \(5y > 3x + 150\). Мы можем разделить обе стороны неравенства на 5, чтобы упростить его: \(y > \frac{3}{5}x + 30\). То есть значение y должно быть больше, чем это линейное уравнение.

Третий член \((A \geq (x - 20)^2 + (y - 20)^2)\) имеет дело с квадратами разностей. Здесь мы рассматриваем выражение \((x - 20)^2 + (y - 20)^2\) и требуется, чтобы оно было меньше или равно A. Опять же, это означает, что значение A должно быть больше или равно этому выражению.

Теперь объединим все эти условия, чтобы найти наименьшее значение A, которое удовлетворит каждому из них.

1. Для начала найдем наименьшее значение x, удовлетворяющее первому условию \(x > 40\). Видно, что наименьшее возможное значение равно 41.

2. Теперь найдем соответствующее значение y, чтобы выполнялось второе условие \(y > \frac{3}{5}x + 30\). Подставив значение x = 41, получим \(y > \frac{3}{5} \cdot 41 + 30\). После вычислений получим \(y > 52.6\). Так как y должно быть целым числом, возьмем наименьшее целое значение, удовлетворяющее этому неравенству, то есть y = 53.

3. Наконец, найдем значение A, удовлетворяющее третьему условию \(A \geq (x - 20)^2 + (y - 20)^2\). Подставив значения x = 41 и y = 53, получим \(A \geq (41 - 20)^2 + (53 - 20)^2\), после вычислений получим \(A \geq 421 + 729\), что дает нам \(A \geq 1150\).

Таким образом, наименьшее натуральное значение A, которое гарантирует истинность данного выражения для всех целых положительных значений x и y, равно 1150.