Какое отношение силы тяготения на поверхности первой планеты к силе тяготения на поверхности второй, учитывая

Баронесса

28

Чтобы найти отношение силы тяготения на поверхности первой планеты к силе тяготения на поверхности второй, нам нужно использовать закон всемирного тяготения, сформулированный Исааком Ньютоном. Этот закон гласит, что сила тяготения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы можем использовать следующее соотношение для нахождения отношения силы тяготения на поверхности первой планеты (F₁) к силе тяготения на поверхности второй планеты (F₂):

\[
\frac{{F₁}}{{F₂}} = \frac{{\frac{{G \cdot M₁ \cdot Mₚ}}{{R₁²}}}}{{\frac{{G \cdot M₂ \cdot Mₚ}}{{R₂²}}}}
\]

где G - гравитационная постоянная, M₁ и M₂ - массы первой и второй планет соответственно, Mₚ - масса объекта, расположенного на поверхности планеты, R₁ и R₂ - радиусы первой и второй планет соответственно.

В задаче говорится, что масса первой планеты в 64 раза больше массы второй (M₁ = 64M₂) и что средняя плотность первой планеты в 8 раз меньше средней плотности второй (R₁ = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}R₂). Мы можем использовать эти данные для нахождения отношения силы тяготения.

Давайте подставим эти значения в формулу:

\[
\frac{{F₁}}{{F₂}} = \frac{{\frac{{G \cdot (64M₂) \cdot Mₚ}}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}R₂\right)²}}}}{{\frac{{G \cdot M₂ \cdot Mₚ}}{{R₂²}}}}
\]

Заметим, что масса объекта (Mₚ) и гравитационная постоянная (G) сокращаются:

\[
\frac{{F₁}}{{F₂}} = \frac{{\frac{{64}}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\right)²}}}}{{1}}
\]

\[
\frac{{F₁}}{{F₂}} = \frac{{64}}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\right)²}}
\]

Теперь мы можем вычислить это значение:

\[
\frac{{F₁}}{{F₂}} = \frac{{64}}{{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\right)²}}
\]

Вычислим радикал:

\[
\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}
\]

Подставим это обратно в уравнение:

\[
\frac{{F₁}}{{F₂}} = \frac{{64}}{{\left(\frac{1}{2}\right)²}}
\]

Распишем ниже:

\[
\frac{{F₁}}{{F₂}} = \frac{{64}}{{\frac{1}{4}}}
\]

Чтобы разделить на дробь, мы можем умножить числитель на обратное значение исходной дроби. В данном случае мы умножим на 4/1.

\[
\frac{{F₁}}{{F₂}} = 64 \cdot \frac{4}{1} = 64 \cdot 4
\]

Теперь мы можем вычислить:

\[
\frac{{F₁}}{{F₂}} = 256
\]

Таким образом, отношение силы тяготения на поверхности первой планеты к силе тяготения на поверхности второй планеты равно 256.