Какое полное сопротивление имеет электрическая цепь переменного тока, включающая последовательно катушку индуктивности

David

68

Чтобы решить данную задачу о полном сопротивлении электрической цепи переменного тока и определить ток, протекающий по этой цепи, нам потребуется использовать понятие комплексного сопротивления.

Сначала посчитаем комплексное сопротивление каждого элемента цепи.

Для катушки индуктивности сопротивление выражается формулой \( Z_L = j \omega L \), где \( j \) - мнимая единица, \( \omega \) - угловая частота, а \( L \) - индуктивность катушки. В данном случае у нас нет информации о \( L \), поэтому предположим, что \( L = 1 \) Генри. Таким образом, \( Z_L = j \omega \).

Для реостата сопротивление уже задано - 8 Ом.

Для конденсатора сопротивление выражается формулой \( Z_C = \frac{1}{j \omega C} \), где \( C \) - емкость конденсатора. В данной задаче предположим, что \( C = 1 \) Фарад. Тогда \( Z_C = \frac{1}{j \omega} \).

Теперь нам нужно преобразовать каждое сопротивление в комплексное число и сложить их вместе, так как они соединены последовательно. Общее комплексное сопротивление цепи \( Z_{\text{общ}} \) выражается формулой:

\[ Z_{\text{общ}} = Z_L + R + Z_C \]

Рассмотрим переменное напряжение, которое приложено к цепи - 220 Вольт. Обозначим его как \( V \). Следует учесть, что ток, протекающий через электрическую цепь переменного тока, будет иметь комплексную форму \( I \).

Согласно закону Ома для цепи переменного тока, ток \( I \) можно выразить через комплексное сопротивление \( Z_{\text{общ}} \) и напряжение \( V \):

\[ I = \frac{V}{Z_{\text{общ}}} \]

Теперь проведем вычисления.

Для начала определим угловую частоту \(\omega\). Для цепей переменного тока эта величина равна \(2\pi f\), где \(f\) - частота переменного тока. Данная задача не предоставляет нам информацию о частоте, поэтому допустим, что \(f = 50\) Гц. Тогда \(\omega = 2\pi f = 100\pi\) рад/с.

Теперь вычислим каждое комплексное сопротивление:

Для катушки индуктивности: \(Z_L = j \omega = j \cdot 100\pi\).

Для реостата: \(R = 8\) Ом.

Для конденсатора: \(Z_C = \frac{1}{j \omega} = \frac{1}{j \cdot 100\pi}\).

Сложим все эти комплексные сопротивления:

\[ Z_{\text{общ}} = j \cdot 100\pi + 8 + \frac{1}{j \cdot 100\pi} \]

Теперь, напишем формулу для расчета тока \( I \):

\[ I = \frac{V}{Z_{\text{общ}}} \]

Подставим известные значения:

\[ I = \frac{220}{j \cdot 100\pi + 8 + \frac{1}{j \cdot 100\pi}} \]

Воспользуемся правилом для деления комплексных чисел и упростим выражение в знаменателе:

\[ I = \frac{220}{j \cdot 100\pi + 8 - \frac{j}{100\pi}} \]

Найдем общий знаменатель и приведем выражение к одному дробному слагаемому:

\[ I = \frac{220(100\pi - j) - 100\pi j}{(100\pi)^2 + 8 \cdot 100\pi - j(100\pi)} \]

Сократим числители и знаменатели:

\[ I = \frac{(22000\pi - 220j) - 100\pi j}{10000\pi^2 + 800\pi - 100\pi j} \]

Дальнейшие вычисления можно сделать численно, подставив конкретные значения угловой частоты \(\omega\) и напряжения \(V\). Чтобы получить численное значение тока \(I\), следует использовать комплексную арифметику.