Какое расстояние пройдет мяч до полной остановки, если его бросят с высоты 16 метров и он подпрыгнет на одну четверть

Lyagushka

6

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения механической энергии.

Первым шагом определим, какова будет скорость мяча, когда он достигнет высоты 16 м. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии:

\[E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = \text{const}\]

где \(E_{\text{пот}}\) - потенциальная энергия мяча, \(E_{\text{кин}}\) - его кинетическая энергия, и оба этих значения сохраняются на протяжении всего движения.

Наивысшей точкой движения мяча является его исходная позиция, где потенциальная энергия будет максимальной (так как \(E_{\text{пот}} = mgh\), где \(m\) - масса мяча, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота).
Мы можем записать это значение потенциальной энергии как \(E_{\text{пот1}} = mgh_1\), где \(h_1\) - высота исходной позиции, равная 16 м.

Когда мяч достигнет высоты, равной одной четверти высоты падения (т.е. 4 м), его потенциальная энергия будет уменьшена и его кинетическая энергия начнет увеличиваться. Определим это значение кинетической энергии как \(E_{\text{кин2}}\).

Мы можем записать закон сохранения энергии, используя эти значения:

\[E_{\text{пот1}} + E_{\text{кин1}} = E_{\text{пот2}} + E_{\text{кин2}}\]

Так как мяч подпрыгивает на одну четверть своей высоты, его потенциальная энергия в этот момент будет \(\frac{1}{4} \times mgh_1\), а его кинетическая энергия будет минимальной, равной нулю.

Мы можем записать это уравнение:

\[mgh_1 = \frac{1}{4} \times mgh_1 + E_{\text{к2}}\]

Решим это уравнение:

\[E_{\text{к2}} = mgh_1 - \frac{1}{4} \times mgh_1 = \frac{3}{4} \times mgh_1\]

Теперь, используя формулу для кинетической энергии (\(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}mv^2\)), мы можем найти скорость мяча на этой высоте:

\[\frac{3}{4} \times mgh_1 = \frac{1}{2}mv^2\]

От сюда мы можем сократить массу мяча \(m\) и выразить скорость \(v\):

\[\frac{3}{4} \times gh_1 = \frac{1}{2}v^2\]

\[v^2 = \frac{3}{2} \times gh_1\]

Теперь, когда у нас есть скорость мяча на этой высоте, мы можем использовать уравнение движения с постоянным ускорением, чтобы найти расстояние, которое мяч пройдет до полной остановки. Ускорение мяча будет равно ускорению свободного падения \(g\).

Формула для расстояния в этом случае будет:

\[s = \frac{v^2}{2g}\]

Подставим значение скорости и ускорения:

\[s = \frac{\frac{3}{2} \times gh_1}{2g}\]

Здесь \(g\) сократится, и мы получим следующее:

\[s = \frac{3}{4} \times h_1\]

Теперь остается только подставить значение \(h_1\), которое равно 16 метров:

\[s = \frac{3}{4} \times 16\]

Вычислив это выражение, мы найдем:

\[s = 12 \text{ метров}\]

Таким образом, мяч пройдет расстояние 12 метров до полной остановки.