Какое расстояние в масштабе 1 : 10000 между пунктами a и b можно найти, если известно, что между ними находится болото

Скрытый_Тигр

55

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет найти третью сторону треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

В данном случае у нас имеется треугольник \(\triangle{ACB}\), где стороны \(AC\) и \(BC\) известны, а нужно найти сторону \(AB\).

Для начала, обозначим данную сторону как \(x\) и запишем теорему косинусов для треугольника \(\triangle{ACB}\):

\[BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(\angle{ACB})\]

Подставим известные значения вместо переменных:

\[400^2 = 600^2 + x^2 - 2 \cdot 600 \cdot x \cdot \cos(62^\circ)\]

Теперь решим полученное уравнение относительно \(x\).

\[400^2 - 600^2 = x^2 - 2 \cdot 600 \cdot x \cdot \cos(62^\circ)\]

Вычислим значение косинуса угла \(62^\circ\):

\[\cos(62^\circ) \approx 0.425\]

Подставим значения в уравнение:

\[160000 - 360000 = x^2 - 510x\]

Упростим:

\[-200000 = x^2 - 510x\]

Полученное уравнение является квадратным, решим его с помощью квадратного трехчлена.

\[x^2 - 510x - 200000 = 0\]

Используя формулу дискриминанта, найдем корни уравнения:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-510)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200000)\]
\[D = 260100 - (-800000)\]
\[D = 260100 + 800000\]
\[D = 1060100\]

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_{1,2} = \frac{-(-510) \pm \sqrt{1060100}}{2 \cdot 1}\]
\[x_{1,2} = \frac{510 \pm \sqrt{1060100}}{2}\]
\[x_{1,2} = \frac{510 \pm 1030}{2}\]

Таким образом, получаем два значения для \(x\):

\[x_1 = \frac{510 + 1030}{2} = 770\]
\[x_2 = \frac{510 - 1030}{2} = -260\]

Из физического смысла задачи следует, что сторона треугольника не может быть отрицательной, поэтому отбрасываем отрицательное значение.

Таким образом, расстояние между пунктами \(a\) и \(b\) в масштабе 1:10000 составляет 770 метров.