Найдите длину отрезка, образованного при пересечении прямой, соединяющей середины ребер B1C1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1

Ледяной_Взрыв

31

Для начала, давайте разобремся с построением задачи. У нас есть куб ABCDA1B1C1D1, в котором нужно найти длину отрезка, образованного при пересечении прямой, соединяющей середины ребер B1C1 и CC1 куба, с плоскостью AA1B1 в точке Q. Допустим, что длина ребра куба равна L.

Для начала, найдем координаты точек B1, C1 и C. Мы знаем, что у нас есть куб, поэтому B1 и C1 будут соответственно серединами ребер AB и AC. Так как середина отрезка можно найти как среднее арифметическое координат концов отрезка, то мы можем сделать следующее:
Координаты вершины A куба имеют значение (0, 0, 0).
Координаты вершины B куба имеют значение (L, 0, 0).
Координаты вершины C куба имеют значение (L, L, 0).
Координаты вершины B1 куба равны среднему арифметическому координат вершин B и C, то есть (L, L/2, 0).
Координаты вершины C1 куба равны среднему арифметическому координат вершин C и A, то есть (L/2, L, 0).

Теперь мы можем построить прямую, соединяющую точки B1C1 и CC1. Уравнение этой прямой можно найти, используя точку и направляющий вектор, который можно найти как разность координат концов прямой:
Направляющий вектор прямой B1C1 будет иметь значения (L - L, L/2 - L/2, 0 - 0), то есть он будет равен нулю.
Направляющий вектор прямой CC1 будет иметь значения (L - L/2, L - L, 0 - 0), то есть он будет равен (L/2, 0, 0).
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки B1C1 и CC1, будет иметь вид:
\[X = (L, L/2, 0) + t(L/2, 0, 0)\]
Где \(X\) - точка на прямой, \(t\) - параметр.

Далее, нам нужно найти точку пересечения этой прямой и плоскости AA1B1. Чтобы найти эту точку, мы можем подставить уравнение прямой в уравнение плоскости и решить полученную систему уравнений.

Уравнение плоскости AA1B1 мы можем записать, используя координаты вершины A (0, 0, 0), вершины A1 (0, L, 0) и вершины B1 (L, L/2, 0). Уравнение будет иметь вид:
\[0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + d = 0\]
где d - неизвестное значение.

Теперь мы можем подставить уравнение прямой в это уравнение и найти точку Q. Подставим в уравнение прямой координаты точки B1C1:
\[L = L \cdot t\]
То есть, \(t = 1\).

Подставим \(t = 1\) в уравнение прямой и уравнение плоскости:
\[X = (L, L/2, 0) + 1 \cdot (L/2, 0, 0)\]
\[0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + d = 0\]

Вычислим значения:
\[X = (L + L/2, L/2, 0)\]
\[X = (3L/2, L/2, 0)\]
\[0 + 0 + 0 + d = 0\]

Таким образом, координаты точки Q равны (3L/2, L/2, 0).

Чтобы найти длину отрезка, образованного пересечением этой прямой с плоскостью AA1B1 в точке Q, нам нужно определить расстояние между точкой Q и ближайшей вершиной плоскости AA1B1 (вершина A).

Расстояние между точками можно найти по формуле:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Таким образом, чтобы найти длину отрезка, нам нужно найти расстояние между точкой Q и вершиной A (0, 0, 0):
\[d = \sqrt{(3L/2 - 0)^2 + (L/2 - 0)^2 + (0 - 0)^2}\]
\[d = \sqrt{(9L^2/4 + L^2/4)}\]
\[d = \sqrt{10L^2/4}\]
\[d = \sqrt{10}L/2\]

Таким образом, длина отрезка, образованного пересечением прямой, соединяющей середины ребер B1C1 и CC1 куба, с плоскостью AA1B1 в точке Q, равна \(\sqrt{10}L/2\).