Какое самое большое и самое маленькое значение функции y=x^3 - 5X^2+7x на интервале (-1;2)?

Magicheskiy_Feniks

17

Хорошо, чтобы найти самое большое и самое маленькое значение функции \(y=x^3 - 5x^2+7x\) на интервале \((-1;2)\), мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте начнем с нахождения критических точек нашей функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y=x^3 - 5x^2+7x\).
\[
y" = 3x^2 - 10x + 7
\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y" = 0\) для определения критических точек.
\[
3x^2 - 10x + 7 = 0
\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Найдем дискриминант \(D\) и применим формулу:
\[
D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16
\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения:
\[
x_1 = \frac{{-(-10) + \sqrt{16}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{10 + 4}}{{6}} = \frac{{14}}{{6}} = \frac{{7}}{{3}}
\]
\[
x_2 = \frac{{-(-10) - \sqrt{16}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{10 - 4}}{{6}} = \frac{{6}}{{6}} = 1
\]

Шаг 3: Определим знак производной функции \(y"\) на интервалах \((- \infty, \frac{{7}}{{3}})\), \((\frac{{7}}{{3}}, 1)\) и \((1, + \infty)\). Для этого мы можем взять произвольные значения внутри каждого интервала, например:
- При \(x = 0\), \(y" = 7\) (положительное значение)
- При \(x = 2\), \(y" = -5\) (отрицательное значение)

Исходя из этих значений, мы видим, что на интервале \((- \infty, \frac{{7}}{{3}})\) функция возрастает, на интервале \((\frac{{7}}{{3}}, 1)\) функция убывает, а на интервале \((1, + \infty)\) снова возрастает.

Шаг 4: Найдем значения функции \(y\) в найденных критических точках и на концах интервала \((-1; 2)\).

Подставим \(x = -1\):
\[
y = (-1)^3 - 5(-1)^2 + 7(-1) = -1 - 5 - 7 = -13
\]

Подставим \(x = \frac{{7}}{{3}}\):
\[
y = \left(\frac{{7}}{{3}}\right)^3 - 5\left(\frac{{7}}{{3}}\right)^2 + 7\left(\frac{{7}}{{3}}\right) = \frac{{343}}{{27}} - \frac{{245}}{{9}} + \frac{{49}}{{3}} = \frac{{162}}{{27}} = 6

Подставим \(x = 1\):
\[
y = 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 = 1 - 5 + 7 = 3
\]

Подставим \(x = 2\):
\[
y = 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2 = 8 - 20 + 14 = 2
\]

Итак, наше минимальное значение функции равно -13 и достигается при \(x = -1\), а максимальное значение функции равно 6 и достигается при \(x = \frac{{7}}{{3}}\).

Таким образом, самое маленькое значение функции \(y\) на интервале \((-1;2)\) равно -13, а самое большое значение равно 6.