Какое соотношение между объемами шара и цилиндра, вписанного в равносторонний цилиндр, можно найти?

Милая

45

Чтобы найти соотношение между объемами шара и цилиндра, вписанного в равносторонний цилиндр, давайте рассмотрим задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем объем цилиндра, вписанного в равносторонний цилиндр.
Объем цилиндра можно найти, используя формулу:
\[ V_{\text{цилиндр}} = \pi r^2 h, \]
где \( r \) - радиус основания цилиндра, \( h \) - высота цилиндра.

В равностороннем цилиндре радиус основания равен радиусу вписанного шара. Также, радиус окружности, описывающей основания цилиндра, равен двум радиусам вписанного шара.

Теперь нам нужно найти соотношение между высотой цилиндра и радиусом вписанного шара.

Шаг 2: Найдем высоту цилиндра в зависимости от радиуса вписанного шара.

Для равностороннего цилиндра, его высота равна удвоенному радиусу вписанного шара, так как высота цилиндра равна двум радиусам описывающей окружности его основания.

Теперь у нас есть соотношение:
\[ h = 2r. \]

Шаг 3: Подставим найденное значение высоты цилиндра в формулу объема цилиндра.

\[ V_{\text{цилиндр}} = \pi r^2 (2r) = 2 \pi r^3. \]

Таким образом, мы нашли объем цилиндра, вписанного в равносторонний цилиндр: \( V_{\text{цилиндр}} = 2 \pi r^3 \).

Шаг 4: Найдем объем вписанного шара.
Объем шара можно найти, используя формулу:
\[ V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3. \]

Теперь мы знаем объемы и цилиндра, и шара, вписанного в него.

Шаг 5: Найдем соотношение между объемами шара и цилиндра, вписанного в равносторонний цилиндр.

\[ \frac{V_{\text{шар}}}{V_{\text{цилиндр}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{2 \pi r^3} = \frac{2}{3}. \]

Итак, соотношение объема шара к объему цилиндра, вписанного в равносторонний цилиндр, равно \( \frac{2}{3} \).

Надеюсь, это пошаговое решение будет понятно школьнику.