Какое уравнение сферы проходит через начало координат и имеет окружность x^2+y^2+z^2=25 и плоскость 2x–3y+5z–5=0?

Васька

8

Чтобы найти уравнение сферы, проходящей через начало координат и имеющей окружность \(x^2+y^2+z^2=25\) и плоскость \(2x-3y+5z-5=0\), мы можем воспользоваться следующим подходом:

1. Обратимся к уравнению окружности. Оно задает нам условие, что сумма квадратов координат точки на сфере равна 25. Мы можем записать это в виде:

\[x^2 + y^2 + z^2 = 25 \hspace{5mm} (1).\]

2. Заданная плоскость \(2x-3y+5z-5=0\) также является плоскостью, содержащей центр сферы (так как она проходит через начало координат). Поэтому любая точка этой плоскости будет лежать на сфере.

3. Чтобы узнать уравнение сферы, через точки плоскости, заданной уравнением плоскости \(2x-3y+5z-5=0\), мы можем подставить координаты точек этой плоскости в уравнение сферы (1).

Давайте найдем две точки на плоскости, чтобы вычислить уравнение сферы:

Пусть \(x = 1\). Подставляя это значение в уравнение плоскости, получаем \(2(1)-3y+5z-5=0\), или \(-3y+5z=3\). Решая это уравнение, найдем \(y = 1\) и \(z = 0\). Таким образом, первая точка на плоскости (и на сфере) имеет координаты (1, 1, 0).

Пусть \(x = 2\). Подставляя это значение в уравнение плоскости, получаем \(2(2)-3y+5z-5=0\), или \(-3y+5z=1\). Решая это уравнение, найдем \(y = -2\) и \(z = -1\). Таким образом, вторая точка на плоскости (и на сфере) имеет координаты (2, -2, -1).

4. Теперь мы имеем две точки на сфере и знаем, что они удовлетворяют уравнению сферы (1). Подставим эти точки в уравнение сферы:

Для первой точки (1, 1, 0):
\[1^2+1^2+0^2=2 \Rightarrow 2=25.\]

Для второй точки (2, -2, -1):
\[2^2+(-2)^2+(-1)^2=9+4+1=14 \neq 25.\]

5. В результате видим, что только первая точка (1, 1, 0) лежит на сфере \(x^2+y^2+z^2=25\). Значит, уравнение сферы, проходящей через начало координат и имеющей заданную окружность и плоскость, может быть записано как:

\[x^2+y^2+z^2=25.\]

Надеюсь, что этот ответ был полезен и помог вам понять, как получить уравнение сферы, удовлетворяющей данным условиям. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их!