Какое значение m при условии, что 0,2 является корнем уравнения 4x^2 - 5,6x + m = 0, и как найти второй корень

Sovenok

44

Для начала рассмотрим уравнение в общем виде:

\[4x^2 - 5,6x + m = 0.\]

У нас есть информация о том, что 0,2 является корнем данного уравнения. Значит, мы можем использовать это обстоятельство, чтобы найти значение m и второй корень уравнения.

Чтобы найти значение m, мы можем использовать свойство корней квадратного уравнения. Если \(r\) является корнем уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), то это означает, что уравнение превращается в \((x - r)(ax + b) = 0\).

Таким образом, мы знаем, что \((x - 0,2)(4x + k) = 0\), где \(k\) - один из коэффициентов уравнения. Раскрывая скобки, получаем:

\[4x^2 + (k - 0,8)x - 0,2k = 0.\]

Мы видим, что у этого уравнения коэффициент при x равен \(k - 0,8\). Сравнивая с исходным уравнением, получаем:

\[k - 0,8 = -5,6.\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(k\). Добавляем 0,8 к обоим частям и получаем:

\[k = -5,6 + 0,8 = -4,8.\]

Итак, мы нашли значение \(k\), оно равно -4,8. Теперь мы можем найти второй корень уравнения.

Для этого мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}.\]

В исходном уравнении у нас \(a = 4\), \(b = -5,6\) и \(c = m\). Заменяя значения, получаем:

\[x = \frac{{5,6 \pm \sqrt{{(-5,6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot m}}}}{{2 \cdot 4}}.\]

Мы знаем, что один из корней равен 0,2, поэтому можем записать:

\[0,2 = \frac{{5,6 \pm \sqrt{{(-5,6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot m}}}}{{2 \cdot 4}}.\]

Теперь решим это уравнение относительно \(m\). Сначала упростим радикал:

\[0,2 = \frac{{5,6 \pm \sqrt{{31,36 - 16m}}}}{{8}}.\]

Умножим обе части уравнения на 8:

\[1,6 = 5,6 \pm \sqrt{{31,36 - 16m}}.\]

Отнимем 5,6 от обеих частей:

\[-4 = \pm \sqrt{{31,36 - 16m}}.\]

Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[16 = 31,36 - 16m.\]

Теперь решаем получившееся уравнение относитель\-но \(m\):

\[-16m = 31,36 - 16.\]

Вычитаем 16 из 31,36:

\[-16m = 15,36.\]

Делим обе части уравнения на -16:

\[m = \frac{{15,36}}{{-16}}.\]

Выполняем эту операцию:

\[m = -0,96.\]

Таким образом, значение \(m\) равно -0,96, а второй корень уравнения можно найти подставив это значение \(m\) в формулу для корней.