Какое значение n удовлетворяет уравнению [tex]132n +13_{8} =124_{n+1}[/tex]?

Murchik_1029

15

Хорошо, рассмотрим данную задачу. Изначально у нас есть уравнение:

\[132n +13_{8} =124_{n+1}\]

Для начала, нам нужно разобраться с системой счисления. Выражение \(13_{8}\) означает число 13, записанное в восьмеричной системе. Аналогично, \(124_{n+1}\) означает число 124, записанное в системе с основанием \(n+1\).

Теперь перейдем к решению уравнения. Для упрощения расчетов, давайте представим число 124 в десятичной системе счисления, используя формулу для перевода числа из системы с основанием \(n+1\) в десятичную систему:

\[124_{n+1} = 1 \cdot (n+1)^2 + 2 \cdot (n+1)^1 + 4 \cdot (n+1)^0\]

Теперь у нас есть два выражения:

\[132n + 13_{8} = 1 \cdot (n+1)^2 + 2 \cdot (n+1)^1 + 4 \cdot (n+1)^0\]

Следующим шагом я решу это уравнение пошагово. Начнем с выражения на левой стороне:

\[132n + 13_{8}\]

Теперь представим число \(13_{8}\) в десятичной системе:

\[13_{8} = 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 8 + 3 = 11\]

Получаем:

\[132n + 11\]

Теперь рассмотрим выражение на правой стороне:

\[1 \cdot (n+1)^2 + 2 \cdot (n+1)^1 + 4 \cdot (n+1)^0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[1 \cdot (n^2 + 2n + 1) + 2 \cdot (n+1) + 4 \cdot 1\]

Проведя операции умножения и сложения, получаем:

\[n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 + 4\]

Упростим выражение:

\[n^2 + 4n + 7\]

Теперь у нас получилось следующее уравнение:

\[132n + 11 = n^2 + 4n + 7\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, приведем его к стандартному виду:

\[n^2 + 4n - 132n + 7 - 11 = 0\]

Совместим подобные члены:

\[n^2 - 128n - 4 = 0\]

Теперь воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения решений данного квадратного трехчлена.

Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -128\), \(c = -4\).

Посчитаем:

\[D = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)\]

\[D = 16384 + 16 = 16400\]

Так как \(D > 0\), у нас есть два различных корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[n = \frac{-(-128) \pm \sqrt{16400}}{2 \cdot 1}\]

\[n = \frac{128 \pm 128 \sqrt{2}}{2}\]

Теперь у нас есть два корня:

\[n_1 = \frac{128 + 128 \sqrt{2}}{2} = 64 + 64 \sqrt{2}\]
\[n_2 = \frac{128 - 128 \sqrt{2}}{2} = 64 - 64 \sqrt{2}\]

Итак, решением уравнения \(132n +13_{8} = 124_{n+1}\) являются два значения \(n\): \(64 + 64 \sqrt{2}\) и \(64 - 64 \sqrt{2}\).