Какому собственному значению относится вектор x, если он является собственным вектором линейного оператора F с матрицей

Amina

4

Для начала, давайте разберемся, что такое собственный вектор и собственное значение. Собственный вектор - это вектор, который при применении линейного оператора остается направленным в том же самом направлении или изменяется только в размере, но не в направлении. Собственное значение - это число, на которое собственный вектор умножается при применении линейного оператора.

Для нахождения собственного значения в данной задаче, мы должны решить уравнение (A - λI)x = 0, где A - матрица линейного оператора, λ - собственное значение, I - единичная матрица, x - собственный вектор.

Сначала найдем матрицу (A - λI) путем вычитания скалярного произведения собственного значения на единичную матрицу из матрицы A:

\[A - λI = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix} - λ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - λ & 2 & -2 \\ 1 & - λ & 3 \\ 1 & 3 & - λ \end{bmatrix}\]

Теперь нам нужно найти собственное значение λ, при котором матрица (A - λI) является вырожденной, то есть её определитель равен 0.

\[\det(A - λI) = (1 - λ)(- λ^2 - 3) - (-λ + 3)(1 - 3) - 2(1 + 3λ) = 0\]

Раскрыв скобки и упростив уравнение, получим следующее:

\[- λ^3 - 4λ^2 + 2λ^2 + 8λ - 3λ + 9 - 2 - 6 - 6λ = 0\]

Собирая коэффициенты вместе, получим:

\[- λ^3 - 2λ^2 - 10λ = 0\]

Теперь мы должны найти значения λ, которые являются корнями этого уравнения. Для этого мы можем использовать метод подбора или факторизации уравнения.

Попробуем подобрать целочисленные значения λ, начиная с -3 до 3:

Для λ = -3:
\[-(-3)^3 - 2(-3)^2 - 10(-3) = -27 + 18 + 30 = 21\]

Для λ = -2:
\[-(-2)^3 - 2(-2)^2 - 10(-2) = -8 - 8 + 20 = 4\]

Для λ = -1:
\[-(-1)^3 - 2(-1)^2 - 10(-1) = -1 - 2 + 10 = 7\]

Для λ = 0:
\[0 - 2(0)^2 - 10(0) = 0\]

Для λ = 1:
\[-1 - 2(1)^2 - 10(1) = -1 - 2 - 10 = -13\]

Для λ = 2:
\[-2^3 - 2(2)^2 - 10(2) = -8 - 8 - 20 = -36\]

Для λ = 3:
\[-3^3 - 2(3)^2 - 10(3) = -27 - 18 - 30 = -75\]

Мы получили несколько значений λ: 0, 4, 7. Теперь для каждого значения λ мы должны найти собственные векторы, решая уравнение (A - λI)x = 0.

Для λ = 0:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}x = 0\]

Решим это уравнение с помощью метода Гаусса:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

Итак, мы получили систему линейных уравнений:

\[\begin{cases} x_1 + x_3 = 0 \\ x_2 - \frac{5}{2}x_3 = 0 \end{cases}\]

Мы можем выбрать произвольное значение для \(x_3\). Пусть \(x_3 = 2\), тогда:

\[x_1 = -x_3 = -2\]
\[x_2 = \frac{5}{2}x_3 = 5\]

Таким образом, собственным вектором для собственного значения λ = 0 является вектор \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix}\).

Для λ = 4:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}x = 4x\]

Аналогично, решим уравнение:

\[\begin{bmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 1 & -4 & 3 \\ 1 & 3 & -4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ -3 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 0 & -10 & 7 \\ 0 & 7 & -7 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{10} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

Система линейных уравнений:
\[\begin{cases} x_1 - 4x_2 + 3x_3 = 0 \\ x_2 - \frac{7}{10}x_3 = 0 \end{cases}\]

Пусть \(x_3 = 10\), тогда:

\[x_2 = \frac{7}{10}x_3 = 7\]
\[x_1 = 4x_2 - 3x_3 = 4(7) - 3(10) = 28 - 30 = -2\]

Таким образом, собственный вектор для собственного значения λ = 4 равен \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ 10 \end{bmatrix}\).

Для λ = 7:

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}x = 7x\]

Снова, решим уравнение:

\[\begin{bmatrix} -6 & 2 & -2 \\ 1 & -7 & 3 \\ 1 & 3 & -7 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -7 & 3 \\ -6 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -7 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -7 & 3 \\ 0 & -40 & 16 \\ 0 & 10 & -10 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

Система линейных уравнений:
\[\begin{cases} x_1 - 7x_2 + 3x_3 = 0 \\ x_2 - \frac{2}{5}x_3 = 0 \end{cases}\]

Пусть \(x_3 = 5\), тогда:

\[x_2 = \frac{2}{5}x_3 = 2\]
\[x_1 = 7x_2 - 3x_3 = 7(2) - 3(5) = 14 - 15 = -1\]

Таким образом, собственный вектор для собственного значения λ = 7 равен \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}\).

Итак, собственные значения для данной матрицы A равны 0, 4, 7, а соответствующие им собственные векторы равны \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ 10 \end{bmatrix}\) и \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}\) соответственно.