Каков будет объем цилиндра, если его диаметр будет уменьшен в 3 раза? Пожалуйста, объясните

Peschanaya_Zmeya

57

Хорошо, для решения этой задачи нам понадобятся некоторые формулы. Прежде всего, объем \( V \) цилиндра можно найти, используя формулу:

\[ V = \pi r^2 h, \]

где \( \pi \) - это математическая константа, приближенно равная 3.14, \( r \) - радиус цилиндра, а \( h \) - его высота.

Задача говорит нам, что диаметр цилиндра будет уменьшен в 3 раза. Диаметр цилиндра равен удвоенному радиусу, то есть \( d = 2r \). Поэтому, если диаметр уменьшен в 3 раза, новый диаметр будет равен \( \frac{1}{3} \) исходного диаметра, или \( \frac{1}{3} \cdot d \).

Давайте выразим радиус \( r_1 \) нового цилиндра через новый диаметр \( d_1 \):

\[ r_1 = \frac{1}{2} \cdot d_1. \]

Теперь, чтобы найти новый объем цилиндра \( V_1 \), мы можем использовать ту же формулу, но с новым радиусом:

\[ V_1 = \pi \left(\frac{1}{2} \cdot d_1\right)^2 h. \]

Обратите внимание, что высота цилиндра \( h \) остается неизменной.

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно выразить новый объем \( V_1 \) через изначальный объем \( V \). Для этого мы можем использовать соотношение объемов:

\[ \frac{V_1}{V} = \frac{\pi \left(\frac{1}{2} \cdot d_1\right)^2 h}{\pi r^2 h}. \]

Упростив это выражение, получим:

\[ \frac{V_1}{V} = \frac{\left(\frac{1}{2} \cdot d_1\right)^2}{r^2}. \]

Теперь подставим значение \( d_1 = \frac{1}{3} \cdot d \) и упростим выражение:

\[ \frac{V_1}{V} = \frac{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot d\right)^2}{r^2}. \]

Выполнив простые алгебраические действия, получим:

\[ \frac{V_1}{V} = \frac{\frac{1}{36} \cdot d^2}{r^2}. \]

Так как \( d = 2r \), подставим это значение:

\[ \frac{V_1}{V} = \frac{\frac{1}{36} \cdot (2r)^2}{r^2}. \]

Упрощаем:

\[ \frac{V_1}{V} = \frac{\frac{1}{36} \cdot 4r^2}{r^2} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}. \]

Таким образом, новый объем \( V_1 \) составляет \( \frac{1}{9} \) от изначального объема \( V \).

Надеюсь, объяснение было понятным. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!