Каков будет вид фигуры при вращении правильной шестиугольной усеченной пирамиды с равными сторонами оснований 4 см

Черешня_3000

9

Чтобы ответить на этот вопрос, мы сначала разберемся с основными понятиями и сделаем несколько предварительных расчетов. Затем мы опишем пошаговое решение задачи и объясним, каким образом можно получить вид фигуры при ее вращении.

Начнем с того, что правильная шестиугольная усеченная пирамида имеет форму основания, похожую на шестиугольник, с верхней и нижней гранями, которые параллельны и сопряжены друг с другом. В задаче указаны размеры оснований: стороны одного основания равны 4 см, а стороны другого основания равны 2 см. Длина боковых ребер пирамиды равна 3 см.

Теперь перейдем к пошаговому решению задачи.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды
Высота пирамиды может быть найдена с помощью теоремы Пифагора в треугольнике с гипотенузой, равной длине бокового ребра пирамиды (3 см), и катетами, равными половинам разности длин сторон соответствующих оснований (4 см и 2 см):

\[h = \sqrt{(3^2 - (4 - 2)^2)}\]
\[h = \sqrt{(9 - 2^2)}\]
\[h = \sqrt{(9 - 4)}\]
\[h = \sqrt{5}\]

Шаг 2: Найдем радиусы оснований пирамиды
Радиусы оснований пирамиды могут быть найдены путем деления длины стороны основания на 2 и использования формулы для радиуса правильного шестиугольника:

\[r_1 = \frac{4}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]
\[r_2 = \frac{2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\]

Шаг 3: Найдем площади оснований пирамиды
Площади оснований пирамиды могут быть найдены путем использования формулы для площади правильного шестиугольника:

\[S_1 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot (2\sqrt{3})^2 = 18\sqrt{3}\]
\[S_2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{9\sqrt{3}}{2}\]

Шаг 4: Найдем площадь поверхности фигуры
Площадь поверхности фигуры может быть найдена суммированием площадей всех боковых граней и оснований пирамиды:

\[S = S_1 + S_2 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (3 \cdot 4) = 18\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{3}}{2} + 72 = \frac{45\sqrt{3}}{2} + 72\]

Шаг 5: Опишем фигуру при вращении вокруг прямой
Фигура, получающаяся при вращении пирамиды вокруг прямой, будет образовывать объемный объект, известный как вращательное тело. В данном случае, вращаются два равнобедренных треугольника, имеющих общую основу, равную длине бокового ребра пирамиды (3 см), и высоты, равные длине пирамиды (вычисленная в первом шаге равна \(\sqrt{5}\) см).

Фигура, образованная при вращении, будет иметь форму торообразного усеченного конуса. Она будет состоять из двух областей: большей и меньшей.

Большая область будет иметь радиус, равный длине основания пирамиды с длиной ребра 4 см (то есть \(r_1 = 2\sqrt{3}\) см), и высоту, равную длине пирамиды (\(\sqrt{5}\) см).

Меньшая область будет иметь радиус, равный длине основания пирамиды с длиной ребра 2 см (то есть \(r_2 = \sqrt{3}\) см), и высоту, равную длине пирамиды (\(\sqrt{5}\) см).

Теперь, когда мы знаем, что фигура будет торообразным усеченным конусом и имеет радиусы и высоты для большей и меньшей областей, мы можем описать ее вид.

Общая формула для объема вращательного тела, образованного при вращении фигуры вокруг прямой, выглядит следующим образом:

\[V = \pi \cdot (R_1^2 + R_1 \cdot R_2 + R_2^2) \cdot h\]

где \(V\) - объем, \(\pi\) - число Пи (\(\pi \approx 3,14\)), \(R_1\) и \(R_2\) - радиусы большей и меньшей областей соответственно, а \(h\) - высота фигуры.

Методом подстановки получим:

\[V = \pi \cdot ((2\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) \cdot \sqrt{5}\]
\[V = \pi \cdot (12 + 6 + 3) \cdot \sqrt{5}\]
\[V = \pi \cdot 21 \cdot \sqrt{5}\]
\[V = 21\pi\sqrt{5}\]

Таким образом, объем вращательного тела, образованного при вращении шестиугольной усеченной пирамиды, равен \(21\pi\sqrt{5}\).

А вот и ответ на вашу задачу! Обращайтесь, если возникнут еще вопросы или нужна помощь с другой математической задачей. Желаю успехов в учебе!