Каков должен быть наибольший радиус сферического тела с плотностью, аналогичной Земле (5,5 г/см3), чтобы его можно было

Якобин

14

Чтобы ответить на ваш вопрос, нам нужно вначале разобраться в понятии "наибольший радиус сферического тела, чтобы его можно было навсегда покинуть".

Когда мы говорим о покидании тела, имеется в виду, что тело не будет сильно притягивать объекты или людей, находящихся на его поверхности. То есть, его гравитационное притяжение должно быть ниже определенного предела.

Чтобы рассчитать, какой должен быть радиус такого сферического тела, мы можем использовать формулу для гравитационного притяжения:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где:
- \(F\) - гравитационная сила между телами,
- \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)),
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы соответствующих тел,
- \(r\) - расстояние между центрами тел.

Мы хотим найти радиус сферического тела (\(r\)), при котором его гравитационное притяжение будет столь незначительным, что можно его покинуть. Чтобы найти такой радиус, необходимо установить гравитационную силу, которую мы считаем приемлемой.

Если мы хотим понять, на каком расстоянии гравитационная сила будет незначительной, давайте рассмотрим ситуацию, когда объект находится на поверхности этой сферы. Подставим массу тела, находящегося на поверхности (\(m_2\)) и массу самой сферы (\(m_1\)) в формулу гравитационной силы:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

В данном случае масса тела, находящегося на поверхности, равна некоторой массе \(m_2\) (например, массе человека) и гравитационной силой (\(F\)) является ее весом (\(m_2 \cdot g\)), где \(g\) - ускорение свободного падения (около \(9.8 \, \text{м/c}^2\) на поверхности Земли). Таким образом, формула принимает следующий вид:

\[m_2 \cdot g = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Отсюда мы можем выразить значение массы сферического тела (\(m_1\)):

\[m_1 = \frac{{g \cdot r^2}}{{G}}\]

Теперь мы можем найти плотность сферического тела, используя формулу плотности:

\[\text{Плотность} = \frac{{\text{Масса}}}{{\text{Объем}}}\]

Так как сфера имеет формулу объема:

\[\text{Объем} = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Мы можем подставить наше выражение для массы (\(m_1\)) в формулу плотности и решить уравнение, чтобы найти радиус (\(r\)) сферы, при котором ее плотность будет равной плотности Земли (5,5 г/см^3).

\[\text{Плотность} = \frac{{\frac{g \cdot r^2}{G}}}{{\frac{4}{3} \pi r^3}}\]

Решая это уравнение относительно \(r\), мы найдем наибольший радиус сферы с плотностью, аналогичной Земле, чтобы ее можно было покинуть.