Каков должен быть размер диаметра капиллярной трубки, чтобы вода могла подняться на 1 мм внутри нее? Коэффициент

Maksimovich

61

Чтобы рассчитать размер диаметра капиллярной трубки, достаточного для поднятия воды на 1 мм, нам понадобятся следующие данные:

- коэффициент поверхностного напряжения воды, который остается постоянным;
- ускорение свободного падения, принимается равным 9,8 м/с²;
- плотность воды, которая составляет примерно 1000 кг/м³;
- гравитационная постоянная, которую мы обозначим буквой "g" и примем равной 9,8 Н/кг.

Для начала, давайте воспользуемся формулой для расчета подъемной силы капиллярного действия:

\[F = 2 \pi r \sigma \cos(\theta)\]

где:
- F - подъемная сила,
- r - радиус капиллярной трубки,
- \(\sigma\) - коэффициент поверхностного напряжения воды,
- \(\theta\) - угол между поверхностью воды и стенкой капилляра.

Так как вопрос просит определить размер диаметра трубки, а не радиуса, то нам потребуется следующее соотношение:

\[d = 2r\]

где d - диаметр капиллярной трубки.

Теперь рассмотрим физическую ситуацию. Вода будет подниматься в капиллярной трубке благодаря силе поверхностного натяжения, которая действует в стенках капилляра. Также мы предполагаем, что у нас используется капилляр, в котором угол \(\theta\) между поверхностью воды и стенкой капилляра равен 0° (т.е. вода находится в контакте с капилляром под прямым углом). В этом случае формула для подъемной силы упрощается:

\[F = 2 \pi r \sigma\]

Далее, сила подъема должна превысить силу тяжести воды:

\[F \geq mg\]

где m - масса воды, g - гравитационная постоянная.

Можем выразить массу воды через ее плотность и объем:

\[m = \rho V\]

где \(\rho\) - плотность воды, V - объем воды.

Объем воды, поднятый на высоту h, связан с диаметром капиллярной трубки r:

\[V = \frac{1}{4} \pi d^2 h\]

Теперь мы можем объединить все формулы и решить уравнение относительно диаметра d:

\[2 \pi r \sigma \geq \rho \cdot \frac{1}{4} \pi d^2 h \cdot g\]

\[2 \pi r \sigma \geq \rho \cdot \pi d^2 h \cdot g\]

После сокращений и преобразований получим:

\[ d^2 \geq \frac{8 \sigma h}{\rho g}\]

\[ d \geq \sqrt{\frac{8 \sigma h}{\rho g}}\]

Таким образом, для того чтобы вода могла подняться на 1 мм внутри капиллярной трубки, размер ее диаметра должен быть не менее чем:

\[d \geq \sqrt{\frac{8 \cdot \sigma \cdot 0,001 \, \text{м}}{1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9,8 \, \text{Н/кг}}}\]

Теперь можем рассчитать значение диаметра, используя известные значения коэффициента поверхностного напряжения воды (\(\sigma = 0,072 \, \text{Н/м}\)):

\[d \geq \sqrt{\frac{8 \cdot 0,072 \, \text{Н/м} \cdot 0,001 \, \text{м}}{1000 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9,8 \, \text{Н/кг}}}\]

Произведем необходимые вычисления и получим значение диаметра:

\[d \geq 1,72 \, \text{мм}\]

Таким образом, необходимый диаметр капиллярной трубки должен быть не менее 1,72 мм для того, чтобы вода могла подняться на 1 мм внутри нее при условии постоянного коэффициента поверхностного напряжения воды.