Каков должен быть размер сечения стальной колонны высотой 5 м, чтобы она сжалась на 1 мм под нагрузкой массой 15

Морской_Шторм

41

Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы физики, связанные с упругостью материала.

Первым шагом определим силу, которая действует на стальную колонну. Мы знаем, что масса равна 15 тонн, что соответствует 15 000 кг. Для определения силы воздействующей на колонну воспользуемся законом тяготения Ньютона: \(F = m \cdot g\), где \(m\) - масса, \(g\) - ускорение свободного падения (примем его за 9,8 м/c²). Подставляя известные значения, получаем:
\[F = 15 000 \, кг \cdot 9,8 \, м/с² = 147 000 \, Н\]

Сила, обусловленная сжатием колонны, равна модулю упругости стали (\(E\)) умноженному на относительное удлинение (\(\varepsilon\)) и площадь поперечного сечения (\(A\)) колонны (\(F = E \cdot \varepsilon \cdot A\)). Также известно, что относительное удлинение равно отношению изменения длины (\(\Delta l\)) к начальной длине (\(l\)).

Учитывая это, можно записать уравнение силы:
\[F = E \cdot \dfrac{\Delta l}{l} \cdot A\]

После преобразований, найдем площадь поперечного сечения колонны:
\[A = \dfrac{F \cdot l}{E \cdot \Delta l}\]

Зная все значения (\(F = 147 000 \, Н\), \(l = 5 \, м\), \(E = 2 \times 10^{11} \, Н/м^2\) для стали, \(\Delta l = 1 \, мм = 0.001 \, м\)), можем подставить и рассчитать площадь сечения колонны:
\[A = \dfrac{147 000 \cdot 5}{2 \times 10^{11} \cdot 0.001} = \dfrac{735 000}{200 000} = 3.675 \, м^2\]

Таким образом, чтобы стальная колонна сжалась на 1 мм под нагрузкой 15 тонн, необходимо, чтобы площадь ее сечения была равна \(3.675 \, м^2\).

Для нахождения на какое расстояние она сжалась, можем воспользоваться формулой \(s = \varepsilon \cdot l\), где \(s\) - изменение длины, \(\varepsilon\) - относительное удлинение, \(l\) - начальная длина.

Подставив значения (\(\varepsilon = \dfrac{\Delta l}{l} = \dfrac{0.001}{5} = 0.0002\)), получим:
\[s = 0.0002 \cdot 5 = 0.001 \, м = 1 \, мм\]

Таким образом, стальная колонна сжалась на 1 мм под действием нагрузки в 15 тонн.