Каков градиент потенциала положительного точечного заряда в точке, расположенной на расстоянии r от заряда?

Letuchiy_Fotograf_324

25

Чтобы определить градиент потенциала положительного точечного заряда в данной задаче, нам необходимо вспомнить некоторые основные понятия и формулы из электростатики.

Градиент — это оператор, который отображает изменение функции в каждой точке пространства. В данном случае функция — это потенциал положительного точечного заряда. Градиент потенциала позволяет определить направление и величину наиболее быстрого изменения потенциальной энергии вблизи заряда.

Расстояние от данной точки до заряда обозначим как r. Потенциал положительного точечного заряда можно определить с использованием формулы:

\[ V = \frac{kQ}{r} \]

где V — потенциал, k — постоянная Кулона, Q — заряд, r — расстояние.

Теперь, чтобы найти градиент потенциала, мы должны взять градиент от этой функции. Для сферической системы координат градиент можно записать следующим образом:

\[ \vec{\nabla}V = \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \]

Однако, в случае точечного заряда, потенциал зависит только от одной переменной — расстояния r, так как заряд сосредоточен в одной точке. Поэтому будет удобно перейти к сферическим координатам (r, θ, φ), где r — расстояние до точечного заряда, θ — угол между вектором расстояния и положительным направлением оси z, φ — угол между проекцией вектора расстояния на плоскость xy и положительным направлением оси x.

В сферических координатах потенциал может быть представлен следующим образом:

\[ V = \frac{kQ}{r} \]

Теперь мы можем найти градиент потенциала, взяв производные от V по каждой переменной. Но сначала производная по r:

\[ \frac{\partial V}{\partial r} = -\frac{kQ}{r^2} \]

Производная по θ и φ будет равна нулю, так как потенциал не зависит от этих углов (сферически симметричной системы). Таким образом, градиент потенциала положительного точечного заряда имеет вид:

\[ \vec{\nabla}V = -\frac{kQ}{r^2} \hat{r} \]

где \(\hat{r}\) — единичный радиус-вектор, направленный от заряда к данной точке.

Этот ответ показывает, что градиент потенциала положительного точечного заряда в любой точке, расположенной на расстоянии r от заряда, будет направлен в сторону заряда и пропорционален обратному квадрату расстояния r.