Каков импульс тела через 5 секунд после начала измерения времени, если его движение описывается уравнением x = 7

Алексей_2904

21

Дано уравнение движения тела: \(x = 7 - 10t + 6t^2\) (в метрах), где \(t\) - время в секундах, прошедшее после начала измерения.

Импульс тела определяется как произведение его массы на скорость: \(p = m \cdot v\). В данной задаче мы не имеем информации о массе тела, поэтому нам нужно найти только скорость в момент времени \(t = 5\) секунд.

Скорость тела может быть получена как производная от \(x\) по \(t\): \(v = \frac{{dx}}{{dt}}\). Для этого возьмем производную от уравнения \(x\) по \(t\):

\[
\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d(7 - 10t + 6t^2)}}{{dt}}
\]

Выполним дифференцирование по каждому слагаемому уравнения по отдельности:

\[
\frac{{d(7 - 10t + 6t^2)}}{{dt}} = \frac{{d(7)}}{{dt}} - \frac{{d(10t)}}{{dt}} + \frac{{d(6t^2)}}{{dt}}
\]

Поскольку константа 7 не зависит от времени, ее производная равна нулю:

\[
\frac{{d(7)}}{{dt}} = 0
\]

Для линейной функции \(f(t) = kt\) производная равна коэффициенту при \(t\):

\[
\frac{{d(10t)}}{{dt}} = 10
\]

Используем правило дифференцирования для функции \(f(t) = a \cdot t^2\), где \(a\) - коэффициент перед \(t^2\). Производная равна \(2 \cdot a \cdot t\):

\[
\frac{{d(6t^2)}}{{dt}} = 2 \cdot 6t = 12t
\]

Теперь объединим все полученные результаты:

\[
\frac{{dx}}{{dt}} = 0 - 10 + 12t
\]

Итак, скорость тела в момент времени \(t\) равна \(-10 + 12t\).

Теперь найдем скорость тела через 5 секунд. Подставим \(t = 5\) в полученное выражение:

\[
v = -10 + 12 \cdot 5 = -10 + 60 = 50 \, \text{м/с}
\]

Итак, скорость тела через 5 секунд после начала измерения времени составляет 50 метров в секунду. Отлично!