Каков коэффициент a4 в разложении функции f(x)=x^3-3 по степеням (x-3) в формуле Тейлора?

Dmitrievich_9321

30

Чтобы найти коэффициент a₄ в разложении функции f(x)=x³-3 по степеням (x-3) в формуле Тейлора, нам понадобится использовать формулу общего члена Тейлора. Формула общего члена Тейлора для функции f(x) вокруг точки a имеет вид:

f(x) = f(a) + f"(a)(x-a) + \frac{{f""(a)}}{{2!}}(x-a)² + \frac{{f"""(a)}}{{3!}}(x-a)³ + ...

где f"(a) обозначает производную функции f(x) в точке a, f""(a) — вторую производную, и так далее.

В данной задаче нужно разложить функцию f(x)=x³-3 по степеням (x-3). Для этого нам нужно заменить x на (x-3) в исходной функции. Подставим это значение в формулу Тейлора и упростим выражение:

f(x) = f(3) + f"(3)(x-3) + \frac{{f""(3)}}{{2!}}(x-3)² + \frac{{f"""(3)}}{{3!}}(x-3)³ + ...

Первый шаг — вычислить значения функции f(x) и ее производных в точке x=3:

f(3) = 3³ - 3 = 27 - 3 = 24
f"(x) = 3x²
f"(3) = 3(3)² = 27

Подставим эти значения в формулу Тейлора:

f(x) = 24 + 27(x-3) + \frac{{f""(3)}}{{2!}}(x-3)² + \frac{{f"""(3)}}{{3!}}(x-3)³ + ...

Теперь осталось найти коэффициент a₄, который соответствует множителю (x-3)⁴. Для этого умножим множитель (x-3)⁴ на каждый член разложения и выразим a₄:

f(x) = 24 + 27(x-3) + a₄(x-3)⁴ + ...

Мы видим, что коэффициент a₄ умножается на (x-3)⁴, поэтому этот член является нашим a₄. Остальные члены, начиная с (x-3)⁵, будут содержать более высокие степени (x-3).

Таким образом, коэффициент a₄ в разложении функции f(x)=x³-3 по степеням (x-3) в формуле Тейлора равен a₄.