Каков коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя в шаровой упаковке? Ответ представьте в процентах с округлением

Таисия

2

Для решения данной задачи рассмотрим сферу, состоящую из плотно упакованных шаров. Плотнейшая упаковка шаров приводит к образованию периодической кристаллической структуры, известной как кубическая решётка.

Когда шары плотно упакованы в кубической решётке, каждый шар касается шести других шаров вокруг него. В данной задаче мы будем рассматривать один слой шаров.

В первом слое шар в плотной упаковке будет 6 шаров, так как один шар трогает шесть других.

Далее мы переходим ко второму слою шаров. Второй слой состоит из шаров, каждый из которых касается трёх шаров из первого слоя. Таким образом, каждый шар во втором слое касается 3 шаров из первого слоя и 3 шаров из второго слоя. Всего во втором слое шаров будет 3 * 6 = 18 шаров.

По аналогии, в третьем слое шаров будет 12 шаров, в четвёртом - 24 и так далее.

Теперь давайте посчитаем общее количество шаров в n-м слое шаров. Общее количество шаров в каждом слое можно выразить используя формулу:

\[N = 2n^2\]

где N - общее количество шаров в слое, n - номер слоя.

Ответим на вопрос задачи. Коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя в шаровой упаковке можно определить как отношение количества шаров в слое к общему числу шаров на этом слое. Используя формулу для общего количества шаров в слое, коэффициент заполненности можно выразить следующим образом:

\[K = \frac{N}{N"}\]

где K - коэффициент заполненности, N - общее количество шаров на слое, N" - общее количество шаров в слое в плотной упаковке.

Первый слой содержит 6 шаров, а общее число шаров в слое можно рассчитать подставив n = 1 в ранее полученную формулу:

\[N = 2 \cdot 1^2 = 2\]

Таким образом, коэффициент заполненности первого слоя будет:

\[K = \frac{6}{2} = 3\]

В процентном отношении это будет 300%.

Ответ: Коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя в шаровой упаковке равен 300%.