Каков момент инерции относительно оси вращения, параллельной оси OX и проходящей через центр масс, если на плоскости

Vesenniy_Les

56

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для момента инерции относительно заданной оси вращения:

\[I = \sum_{i} m_i r_i^2\]

где \(I\) - момент инерции, \(m_i\) - масса \(i\)-й точки, \(r_i\) - расстояние от \(i\)-й точки до оси вращения.

Давайте сначала построим чертеж с данными, чтобы убедиться, что ось вращения, параллельная оси OX и проходящая через центр масс, правильно выбрана. Также отметим расстояния от каждой точки до этой оси.

Чертеж:

\[
\begin{array}{cccc}
m_1(0,0) & m_2(1,1) & m_3(2,2) & m_4(3,3) \\
\end{array}
\]

Теперь найдем расстояние от каждой точки до оси вращения, используя координаты точек.

Расстояния от каждой точки до оси вращения:

\(r_1 = 0\) (так как точка \(m_1\) находится на оси вращения)

\(r_2 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

\(r_3 = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

\(r_4 = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

Теперь, подставив значения в формулу момента инерции, мы можем найти ответ:

\[I = m_1 \cdot r_1^2 + m_2 \cdot r_2^2 + m_3 \cdot r_3^2 + m_4 \cdot r_4^2\]

\[I = 1 \cdot 0^2 + 2 \cdot (\sqrt{2})^2 + 3 \cdot (2\sqrt{2})^2 + 4 \cdot (3\sqrt{2})^2\]

\[I = 2 + 24 + 72\]

\[I = 98\]

Таким образом, момент инерции относительно выбранной оси вращения равен 98 кг·м².