Каков наименьший неотрицательный корень уравнения tgπ(2x−26)/6=√3/3?

Шустр

37

Для начала, нам нужно решить уравнение \(\tan\left(\frac{\pi}{6}(2x-26)\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Постараемся найти значения \(x\), которые удовлетворяют этому уравнению.

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду.
Используя свойство тангенса \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), мы можем записать уравнение как \(\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}(2x-26)\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{6}(2x-26)\right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Шаг 2: Применение тригонометрических свойств.
Мы знаем, что \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\) и \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому мы можем переписать уравнение как \(\frac{\frac{1}{2}\sin(2x-26)}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x-26)} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Шаг 3: Упрощение выражений.
Мы можем сократить дроби, получив \(\frac{\sin(2x-26)}{\cos(2x-26)} = 1\).

Шаг 4: Использование основной тригонометрической тождества.
На основании основного тригонометрического тождества \(\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1\), мы знаем, что \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)\). Мы можем применить это тождество к нашему уравнению: \(\tan(2x-26) = 1\).

Шаг 5: Поиск решения.
Мы знаем, что тангенс имеет период \(\pi\), то есть \(\tan(x) = \tan(x + n\pi)\), где \(n\) - любое целое число. Поэтому мы можем записать уравнение как \((2x-26) + n\pi = \frac{\pi}{4}\), где \(n\) - любое целое число.

Шаг 6: Нахождение значения \(x\).
Решим полученное уравнение для \(x\):
\(2x-26 + n\pi = \frac{\pi}{4}\)
\(2x = \frac{\pi}{4} + 26 - n\pi\)
\(x = \frac{\pi}{8} + \frac{13}{2} - \frac{n\pi}{2}\)

Теперь, чтобы найти наименьший неотрицательный корень, мы должны найти наименьшее значение \(n\), которое даст нам неотрицательное значение для \(x\).

При \(n = 0\):
\(x = \frac{\pi}{8} + \frac{13}{2}\)
\(x \approx 5.984\)

Однако, поскольку мы ищем НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ значение \(x\), мы должны найти следующее значение для \(n\), которое даст нам неотрицательное значение для \(x\).

При \(n = 1\):
\(x = \frac{\pi}{8} + \frac{13}{2} - \frac{\pi}{2}\)
\(x = \frac{\pi}{8} + \frac{13}{2} - \frac{\pi}{2}\)
\(x \approx 0.110\)

Таким образом, наименьший неотрицательный корень уравнения \(\tan\left(\frac{\pi}{6}(2x-26)\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\) равен приближенно 0.110.