Каков новый период колебаний пружинного маятника после погружения в вязкую жидкость?

Yagnenok

37

Когда пружинный маятник погружается в вязкую жидкость, он сталкивается с дополнительными силами сопротивления, вызванными трением между маятником и жидкостью. Эти силы сопротивления приводят к затуханию колебаний маятника и уменьшению его амплитуды с каждым циклом колебаний.

Давайте рассмотрим математическую модель пружинного маятника, погруженного в вязкую жидкость. Пусть \(m\) - это масса маятника, \(k\) - жесткость пружины, \(c\) - коэффициент сопротивления, и \(x(t)\) - смещение маятника от положения равновесия в момент времени \(t\).

Уравнение движения для этого маятника можно записать в виде:

\[m \cdot \frac{{d^2x}}{{dt^2}} + c \cdot \frac{{dx}}{{dt}} + kx = 0\]

где первое слагаемое представляет силу инерции маятника, второе - силу сопротивления, а третье - силу упругости пружины.

Для решения этого дифференциального уравнения можно предположить, что смещение маятника имеет экспоненциальную форму \(x(t) = e^{rt}\), где \(r\) - комплексный корень.

Подставим это предположение в уравнение движения и получим следующее характеристическое уравнение:

\[mr^2 + cr + k = 0\]

Характеристическое уравнение можно решить с использованием методов решения квадратных уравнений. Пусть \(r_1\) и \(r_2\) - корни характеристического уравнения.

В зависимости от величины коэффициента сопротивления \(c\), уравнение может иметь три варианта решений:

1. Когда \(c^2 - 4mk > 0\), корни \(r_1\) и \(r_2\) являются действительными и различными. В этом случае, период колебаний маятника в вязкой жидкости будет равен:

\[
T = \frac{{2\pi}}{{\sqrt{{k/m - (c/2m)^2}}}}
\]

2. Когда \(c^2 - 4mk = 0\), корни \(r_1\) и \(r_2\) являются действительными и одинаковыми. В этом случае, период колебаний маятника будет равен:

\[
T = \frac{{2\pi}}{{\sqrt{{k/m}}}}
\]

3. Когда \(c^2 - 4mk < 0\), корни \(r_1\) и \(r_2\) являются комплексными. В этом случае, период колебаний маятника будет равен:

\[
T = \frac{{2\pi}}{{\sqrt{{k/m}}}} \cdot \left(\frac{{1}}{{\sqrt{{1 - (c/2m)^2}}}}\right)
\]

Таким образом, период колебаний пружинного маятника после погружения в вязкую жидкость зависит от массы маятника, жесткости пружины и коэффициента сопротивления жидкости.