Каков объем цилиндра, если прямоугольник ABCD с размерами AB = 4 см и BC = 12 см является разверткой его боковой

Zhiraf_4431

51

Хорошо, давайте пошагово решим эту задачу.

1. Введем обозначения:
- Пусть V обозначает объем цилиндра.
- Пусть S обозначает площадь боковой поверхности цилиндра.
- Пусть h обозначает высоту цилиндра.
- Пусть r обозначает радиус цилиндра.

2. Известно, что прямоугольник ABCD является разверткой боковой поверхности цилиндра. Значит, площадь прямоугольника ABCD равна площади боковой поверхности цилиндра. Найдем площадь прямоугольника ABCD.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
S_ABCD = AB * BC = 4 см * 12 см = 48 см².

Таким образом, S = 48 см².

3. Так как площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2πrh, где π - математическая константа, равная приблизительно 3,14159, то мы можем записать следующее:

48 см² = 2πrh.

Делим обе части уравнения на 2π, чтобы выразить высоту h:
h = \(\frac{48 см²}{2πr}\).

4. Теперь осталось найти радиус r, чтобы получить окончательный ответ.

Здесь нам поможет информация о том, что прямоугольник ABCD развернутый вид боковой поверхности цилиндра. Значит, сторона AB прямоугольника является окружностью цилиндра.

Длина окружности вычисляется по формуле C = 2πr, где C - длина окружности, r - радиус.
Известно, что AB = 4 см, а это и является длиной окружности, значит, 2πr = 4 см.

Теперь найдем радиус:
2πr = 4 см,
r = \(\frac{4 см}{2π}\).

Расчет:
r ≈ \(\frac{4 см}{2π}\) ≈ \(\frac{2 см}{π}\) ≈ \(\frac{2 см}{3,14159}\) ≈ 0,636 см (округляем до трех знаков после запятой).

5. Итак, мы нашли радиус r цилиндра, теперь мы можем найти высоту h.

h = \(\frac{48 см²}{2πr}\),
h = \(\frac{48 см²}{2π * 0,636 см}\),
h ≈ \(\frac{48 см²}{4 см}\) ≈ 12 см.

6. Ответ: объем цилиндра V равен площади боковой поверхности S_ABCD помноженной на высоту h:
V = S_ABCD * h,
V = 48 см² * 12 см,
V = 576 см³.

Таким образом, объем этого цилиндра равен 576 кубическим сантиметрам.