Каков объем данного прямого кругового конуса, если угол при основании равен 120 градусам, а длина осевой линии

Пламенный_Змей_5217

47

Чтобы вычислить объем прямого кругового конуса, нам понадобятся значения угла при основании и длины осевой линии.

У нас уже дано, что угол при основании равен 120 градусам. Данный угол является углом между двумя образующими конуса, и он измеряется в градусах.

Также, длина осевой линии составляет 4 корня из трех. Осевая линия - это прямая, проходящая через вершину конуса и перпендикулярная к основанию. Ее длина измеряется в единицах длины (например, сантиметрах или метрах).

Для вычисления объема прямого кругового конуса используется формула:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

где \( r \) - радиус основания конуса, \( h \) - высота конуса.

В нашем случае, чтобы упростить вычисления, сначала найдем радиус основания и высоту конуса.

Радиус основания можно найти, разделив длину осевой линии на \( 2 \sqrt{3} \). Таким образом, радиус равен:

\[ r = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2 \]

Теперь найдем высоту конуса. Высота представляет собой расстояние от вершины конуса до основания, параллельно осевой линии. В прямом круговом конусе, высота образует прямой угол с основанием.

Обозначим \( l \) - длину осевой линии, \( r \) - радиус основания, \( h \) - высоту конуса. Тогда применяя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой \( l \) и катетами \( r \) и \( h \), получаем следующее:

\[ l^2 = h^2 + r^2 \]

Подставим известные значения:

\[ (4\sqrt{3})^2 = h^2 + 2^2 \]
\[ 48 = h^2 + 4 \]
\[ h^2 = 48 - 4 = 44 \]
\[ h = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \]

Теперь, когда у нас есть радиус и высота конуса, можем вычислить его объем, подставив значения в формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
\[ V = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (2\sqrt{11}) \]
\[ V = \frac{4}{3} \pi \sqrt{11} \]

Таким образом, объем данного прямого кругового конуса равен \( \frac{4}{3} \pi \sqrt{11} \) объемных единиц (например, кубических сантиметров или кубических метров).