Каков объем и площадь поверхности шара, описанного вокруг правильной четырехугольной призмы со стороной основания

Орех_474

7

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать формулы для вычисления объема и площади поверхности шара.

Формула для объема шара: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), где \(r\) - радиус шара.

Формула для площади поверхности шара: \(S = 4\pi r^2\).

У нас есть правильная четырехугольная призма со стороной основания 4 см и высотой. Поскольку это 4-хугольник, то его основание - это квадрат, и все стороны равны 4 см.

Чтобы найти радиус шара, описанного вокруг этой призмы, нам нужно найти диагональ основания, которая будет равна длине стороны умноженной на \(\sqrt{2}\).

Диагональ квадрата: \(d = a\sqrt{2}\), где \(a\) - длина стороны квадрата.

Таким образом, диагональ основания призмы равна \(d = 4\sqrt{2}\) см.

Радиус шара будет половиной диагонали основания, то есть \(r = \frac{1}{2}d = 2\sqrt{2}\) см.

Теперь, чтобы найти объем и площадь поверхности шара, подставим найденное значение радиуса в соответствующие формулы.

Объем шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi (2\sqrt{2})^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi 8\sqrt{2}^3\]
\[V = \frac{4}{3}\pi 8 \cdot 2\sqrt{2}\]
\[V = \frac{4}{3}\pi 16\sqrt{2}\]

Таким образом, объем шара, описанного вокруг данной призмы, равен \( \frac{64}{3}\pi\sqrt{2} \) кубических сантиметров.

Площадь поверхности шара:
\[S = 4\pi (2\sqrt{2})^2\]
\[S = 4\pi 4\cdot 2\sqrt{2}^2\]
\[S = 4\pi 4\cdot 8\]
\[S = 16\pi\]

Таким образом, площадь поверхности шара, описанного вокруг данной призмы, равна \(16\pi\) квадратных сантиметров.