Каков объем и поверхность тела, полученного путем вращения равнобедренного треугольника вокруг его основания, если

Витальевна

21

Чтобы найти объем и поверхность тела, полученного путем вращения равнобедренного треугольника вокруг его основания, нам необходимо знать конкретные значения длины основания треугольника.

Пусть длина основания треугольника равна \( x \) сантиметрам. Так как треугольник равнобедренный, то его две боковые стороны также равны 5 сантиметрам.

Для нахождения объема тела, образованного вращением треугольника, нам потребуется формула для объема тела вращения. Если треугольник вращается вокруг своей основы, он образует конус. Таким образом, объем конуса определяется формулой:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

где \( \pi \approx 3.14159 \) - число пи, \( r \) - радиус основания конуса (равен половине длины основания треугольника), \( h \) - высота конуса.

В нашем случае радиус основания конуса равен \( \frac{x}{2} \), а высота конуса равна длине боковой стороны треугольника (так как боковая сторона является высотой треугольника).

Таким образом, объем тела будет равен:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 \times 5 \]

Чтобы найти поверхность тела, полученного вращением треугольника, мы должны сложить площадь основания треугольника и площадь плоскостей, образующих боковую поверхность конуса.

Площадь основания треугольника равна \( \frac{1}{2} \times x \times 5 \) (площадь прямоугольного треугольника). Боковая поверхность конуса представляет собой сектор круга, который можно рассчитать по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \pi r l \]

где \( l \) - длина дуги окружности, образующей боковую поверхность конуса.

В нашем случае, длина дуги окружности равна периметру треугольника, то есть \( l = 5 + 5 + x = 10 + x \).

Таким образом, поверхность тела будет равна:

\[ S = \frac{1}{2} \times x \times 5 + \pi \left(\frac{x}{2}\right) \times (10 + x) \]

В итоге, объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника вокруг его основания, равен \( \frac{1}{3} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 \times 5 \) и поверхность равна \( \frac{1}{2} \times x \times 5 + \pi \left(\frac{x}{2}\right) \times (10 + x) \).