Каков объем конуса, если его осевым сечением является равносторонний треугольник с длиной стороны

Sokol

11

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\]

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, равная примерно 3.14159, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Так как осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, то его стороны равны и обозначаются как \(a\).

Для нахождения радиуса основания конуса по длине стороны треугольника, мы можем использовать следующую формулу:

\[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

Теперь мы можем подставить значения \(r\) и \(h\) в формулу для объема конуса и решить задачу.

Давайте посчитаем:

\(a = 6\) (длина стороны равностороннего треугольника)

\[r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2 \cdot 1.732} \approx 1.732\]

Теперь нам нужно узнать высоту конуса. Мы можем использовать теорему Пифагора для этого:

\[h^2 = a^2 - r^2\]
\[h^2 = 6^2 - 1.732^2\]
\[h^2 \approx 36 - 2.999\]
\[h^2 \approx 33.001\]
\[h \approx \sqrt{33.001}\]
\[h \approx 5.745\]

Теперь у нас есть значения для \(r\) и \(h\), которые мы можем подставить в формулу объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (1.732)^2 \cdot 5.745\]

Вычисляя это выражение, мы получаем:

\[V \approx \frac{1}{3} \cdot 3.14159 \cdot 2.999 \cdot 5.745\]
\[V \approx 9.628\]

Таким образом, объем конуса с осевым сечением, являющимся равносторонним треугольником со стороной длиной 6, составляет приблизительно 9.628 кубических единиц.