Каков объем пирамиды АВСД с вершинами в точках А(1;4;-1), В(4;2;2), С(-2;11;-1) и Д(-11;0;9)?

Daniil

33

Чтобы найти объем пирамиды АВСД, мы можем использовать формулу объема любой пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h\]

где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды от основания до вершины.

Первым шагом нам необходимо найти площадь основания пирамиды. Основание пирамиды АВСД - это треугольник АВС:

\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 2-4 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 11-4 \\ -1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Теперь мы можем найти площадь треугольника АВС, используя формулу площади:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|\]

где \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) это векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), а \(\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|\) обозначает длину этого векторного произведения.

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -9 \\ 13 \end{pmatrix}
\]

\[
\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-6)^2 + (-9)^2 + 13^2} = \sqrt{36 + 81 + 169} = \sqrt{286} \approx 16.91
\]

Теперь мы можем подставить найденное значение площади основания в формулу объема пирамиды. Осталось только найти высоту пирамиды \(h\).

Для этого мы можем использовать точку Д и найти расстояние от нее до плоскости основания пирамиды. Для этого нам потребуется нормальный вектор плоскости основания, который мы можем получить, используя векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Затем мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости:

\[h = \frac{|(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}) \cdot \overrightarrow{N}|}{\|\overrightarrow{N}\|}\]

где \(\overrightarrow{N}\) - нормальный вектор плоскости основания пирамиды.

\[
\overrightarrow{N} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -9 \\ 13 \end{pmatrix}
\]

Теперь мы можем найти высоту пирамиды АВСД:

\[
(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}) \cdot \overrightarrow{N} = \begin{pmatrix} 1-(-11) \\ 4-0 \\ -1-9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -9 \\ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -9 \\ 13 \end{pmatrix} = -72 + (-36) + (-130) = -238
\]

\[
\|\overrightarrow{N}\| = \sqrt{(-6)^2 + (-9)^2 + 13^2} = \sqrt{36 + 81 + 169} = \sqrt{286} \approx 16.91
\]

\[
h = \frac{|-238|}{16.91} \approx 14.07
\]

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в формулу объема пирамиды:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16.91 \cdot 14.07 \approx 79.26
\]

Таким образом, объем пирамиды АВСД с вершинами в точках А(1;4;-1), В(4;2;2), С(-2;11;-1) и Д(-11;0;9) равен примерно 79.26.