Каков объем пирамиды, если в ее основании находится прямоугольный треугольник с катетами длиной 30 см и 40 см

Tainstvennyy_Rycar

61

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства треугольников и пирамид. Давайте рассмотрим ее пошаговое решение:

Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды.
Поскольку основание пирамиды составляет прямоугольный треугольник, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольникa.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.
\[S_{\text{{осн}}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]
Где a и b - длины катетов.

Подставляя значения катетов a = 30 см и b = 40 см, мы получаем:
\[S_{\text{{осн}}} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \, \text{{см}}^2\]

Шаг 2: Рассчитаем высоту пирамиды.
Угол, образованный боковым ребром пирамиды и плоскостью основания, составляет 45°. Это означает, что мы можем разделить боковую грань пирамиды на два прямоугольных треугольника с равными катетами. Поделив длину бокового ребра пирамиды на \(\sqrt{2}\), мы найдем длину катета в одном из этих треугольников.

\[с = \frac{a}{\sqrt{2}}\]
Где a - длина бокового ребра пирамиды.

Подставив значение a = 40 см:
\[ с = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20 \sqrt{2} \, \text{{см}}\]

Шаг 3: Рассчитаем высоту пирамиды, используя найденное значение длины катета в треугольнике.
Теперь у нас есть прямоугольный треугольный треугольник с катетами 20\(\sqrt{2}\) см и 30 см. Воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника.
\[S_{\text{{треуг}}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
Где a и b - длины катетов.

Подставляя значения a = 20\(\sqrt{2}\) и b = 30, мы получаем:
\[S_{\text{{треуг}}} = \frac{1}{2} \cdot (20\sqrt{2}) \cdot 30 = 300\sqrt{2} \, \text{{см}}^2\]

Шаг 4: Найдем объем пирамиды.
Объем пирамиды можно вычислить, используя найденную площадь основания и высоту.
Формула для объема пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{{осн}}} \cdot h \]
Где \(S_{\text{{осн}}}\) - площадь основания, а h - высота.

Подставляя найденные значения:
\[V = \frac{1}{3} \cdot 600 \, \text{{см}}^2 \cdot 300\sqrt{2} \, \text{{см}} \approx 60000\sqrt{2} \, \text{{см}}^3 \]

Получили окончательный ответ: объем пирамиды равен примерно 60000\(\sqrt{2}\) кубических сантиметров.